什么是贝叶斯定理(bayes' theorem)？

贝叶斯定理是以18世纪英国数学家托马斯·贝耶斯的名字命名的，是一个确定条件概率的数学公式。条件概率是根据先前结果发生的结果发生的可能性。贝叶斯定理提供了一种方法来修正现有的预测或理论（更新概率）给定的新的或附加的证据。在金融学中，贝叶斯定理可以用来对贷款给潜在借款人的风险进行评级。

贝叶斯定理也称为贝叶斯规则或贝叶斯定律，是贝叶斯统计领域的基础。

关键要点

• 贝叶斯定理允许你通过合并新的信息来更新事件的预测概率。
• 贝叶斯定理是以18世纪数学家托马斯·贝叶斯的名字命名的。
• 在金融学中，它经常被用来更新风险评估。

理解贝叶斯定理

这个定理的应用非常广泛，并不局限于金融领域。作为一个例子，贝叶斯定理可以用来确定医疗测试结果的准确性，通过考虑任何给定的人患疾病的可能性和测试的一般准确性。贝叶斯定理依赖于结合先验概率分布来产生后验概率。先验概率，在贝叶斯统计推断中，是一个事件在收集新数据之前的概率。这是在进行实验之前，基于当前知识对结果概率的最佳合理评估。后验概率是在考虑新信息后，事件发生的修正概率。利用Bayes定理对先验概率进行修正，计算出后验概率。在统计术语中，后验概率是给定事件B已经发生的情况下事件A发生的概率。

因此，Bayes定理给出了基于新信息的事件发生概率，这些新信息是或可能是与该事件相关的。这个公式还可以用来观察假设的新信息对事件发生概率的影响，假设新信息是真的。例如，假设一张牌是从52张牌中抽出的。这张牌成为国王的概率是4除以52，等于1/13或大约7.69%。记住甲板上有四个国王。现在，假设显示所选的卡是一张人脸卡。被选中的牌是王牌的概率，假设它是一张脸牌，是4除以12，或者大约33.3%，因为一副牌中有12张脸牌。

贝叶斯定理公式

P（一）∣B） =P（安培）⋂B） P（B）=P（A）⋅P（B）∣A） P（B）where:P（A） =发生概率p（B）=发生概率p（A）∣B） =给定BP（B）的概率∣A） =给定AP（A）时B的概率⋂B） ）=A和B同时出现的概率\begin{aligned}&amp；P\left（A | B\right）=\frac{P\left（A\bigcap{B}\right）}{P\left（B\right）}=\frac{P\left（A\right）\cdot{P\left（B | A\right）}{P\left（B\right）}\\&amp\textbf{其中：}\\&amp；P\左（A\右）=\text{发生概率}\\&amp；P\左（B\右）=\text{B发生的概率}\\&amp；P\左（A | B\右）=\text{给定B的概率}\\&amp；P\ left（B | A\ right）=\text{B给定A的概率}\\&amp；P\left（A\bigcap{B}\right））=\text{A和B发生的概率}\\\end{aligned}​P（一）∣B） =P（B）P（A）⋂（二）​=P（B）P（A）⋅P（B）∣（一）​where:P（A） =发生概率p（B）=发生概率p（A）∣B） =给定BP（B）的概率∣A） =给定AP（A）时B的概率⋂B） ）=A和B同时出现的概率​

贝叶斯定理举例

下面是贝叶斯定理的两个例子，其中第一个例子展示了如何在使用亚马逊公司（Amazon.com Inc.）的股票投资例子中推导公式。第二个例子将贝叶斯定理应用于药物检测。

贝叶斯定理公式的推导

贝叶斯定理简单地遵循了条件概率公理。条件概率是一个事件发生另一个事件的概率。例如，一个简单的概率问题可能会问：“亚马逊股价下跌的概率是多少？”条件概率进一步问：“鉴于道琼斯工业平均指数（DJIA）下跌较早，AMZN股价下跌的概率是多少？”

给定B发生的条件概率可以表示为：

如果A是：“AMZN价格下跌”，那么P（AMZN）是AMZN下跌的概率；B是：“道琼斯指数已经下跌”，P（道琼斯指数）是道琼斯指数下跌的概率；然后，条件概率表达式为“如果道琼斯指数下跌，AMZN下跌的概率等于AMZN价格下跌的概率，道琼斯指数下跌的概率大于道琼斯指数下跌的概率。

P（AMZN | DJIA）=P（AMZN和DJIA）/P（DJIA）

P（AMZN和DJIA）是A和B发生的概率。这也与A发生的概率乘以B发生的概率相同，假设A发生，表示为P（AMZN）x P（DJIA | AMZN）。这两个表达式相等的事实导致了贝叶斯定理，它被写成：

如果，P（AMZN和DJIA）=P（AMZN）x P（DJIA | AMZN）=P（DJIA）x P（AMZN | DJIA）

那么，P（AMZN | DJIA）=[P（AMZN）x P（DJIA | AMZN）]/P（DJIA）。

其中P（AMZN）和P（DJIA）是亚马逊和道琼斯下跌的概率，不考虑彼此。

该公式解释了在看到证据P（AMZN）之前假设的概率与在得到证据P（AMZN | DJIA）之后假设的概率之间的关系，给出了道琼斯指数中亚马逊给定证据的假设。

贝叶斯定理的数值例子

作为一个数字例子，假设有一个药物测试是98%的准确率，这意味着98%的时间，它显示一个真正的阳性结果的人使用的药物和98%的时间，它显示一个真正的阴性结果的非使用者的药物。接下来，假设有0.5%的人使用这种药物。如果随机挑选的人对药物检测呈阳性，则可以进行以下计算，以确定该人实际使用药物的概率。

（0.98 x 0.005）/[（0.98 x 0.005）+（（1-0.98）x（1-0.005））]=0.0049/（0.0049+0.0199）=19.76%

Bayes定理表明，即使一个人在这种情况下被检测为阳性，事实上这个人更可能不是药物使用者。