如何导出组合的公式(derive the formula for combinations)

看到教科书上的公式或老师写在黑板上的公式后，有时会惊讶地发现，其中许多公式都可以从一些基本定义和仔细思考中推导出来。在检查组合公式时，概率尤其如此。这个公式的推导实际上只依赖于乘法原理。...

看到教科书上的公式或老师写在黑板上的公式后，有时会惊讶地发现，其中许多公式都可以从一些基本定义和仔细思考中推导出来。在检查组合公式时，概率尤其如此。这个公式的推导实际上只依赖于乘法原理。

乘法原理

假设有一个任务要做，这个任务被分为两个步骤。第一步可以用k种方式完成，第二步可以用n种方式完成。这意味着将这些数字相乘后，执行任务的方法数为nk。

例如，如果你有十种冰淇淋可供选择，有三种不同的配料，你能做多少种一勺、一种配料的圣代？用3乘以10得到30个圣代。

形成排列

现在，使用乘法原理推导出从一组n个元素中提取的r个元素的组合数的公式。设P（n，r）表示n个元素集合中r个元素的置换数，C（n，r）表示n个元素集合中r个元素的组合数。

想一想，当由n个元素组成r个元素的排列时会发生什么。将此过程视为两个步骤。首先，从一组n中选择一组r元素。这是一个组合，有C（n，r）方法可以做到这一点。该过程的第二步是对r元素进行排序，第一个元素有r个选项，第二个元素有r-1个选项，第三个元素有r-2个选项，倒数第二个元素有2个选项，最后一个元素有1个选项。根据乘法原理，有rx（r-1）x。x2x1=r！如何做到这一点。这个公式是用阶乘表示法写成的。

公式的推导

概括地说，P（n，r），从总n中形成r元素排列的方法的数量由以下公式确定：

以C（n，r）中的任意一种方式从n个元素中形成r个元素的组合
将这些r元素排序为r中的任意一个！方式。

根据乘法原理，形成置换的方法数为P（n，r）=C（n，r）xr！。

使用置换的公式P（n，r）=n/（n-r）！，可代入上述公式：

n/（n-r）！=C（n，r）r！。

现在解这个，组合的数目，C（n，r），看看C（n，r）=n/[r！（n-r）！]。

正如所证明的，一点点思考和代数可以走很长的路。概率和统计学中的其他公式也可以通过仔细应用定义推导出来。

发表于 2021-10-20 17:23
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分类：数学

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