如何证明德摩根定律(prove de morgan's laws)
在数理统计和概率论中，熟悉集合论是很重要的。集合论的基本运算与概率计算中的某些规则有关。并、交和补的这些基本集合运算之间的相互作用由两种称为德摩根定律的说法来解释。在陈述这些法律之后，我们将看到如何证明它们。
德摩根定律声明
德摩根定律涉及到联合、交叉和互补的相互作用。回顾：
- 集合A和B的交集由A和B共同的所有元素组成。交集由A表示∩ B
- 集合A和B的并集由A或B中的所有元素组成，包括两个集合中的元素。交叉点由U B表示。
- 集合A的补码由非A元素的所有元素组成。该补码用AC表示。
现在我们已经回顾了这些基本操作，我们将看到德摩根定律的陈述。对于每对集合A和B
- (一)∩ B） C=AC U BC。
- （A U B）C=AC∩ 公元前。
证明策略概述
在开始证明之前，我们将考虑如何证明上述陈述。我们试图证明两个集合是相等的。在数学证明中，这种方法是通过双重包含的过程来实现的。这种证明方法的概述如下：
- 显示等号左侧的集合是右侧集合的子集。
- 以相反方向重复该过程，显示右侧的集合是左侧集合的子集。
- 这两个步骤让我们可以说这些集合实际上是相等的。它们由所有相同的元素组成。
法律之一的证明
我们将看到如何证明上面的第一条德摩根定律。我们首先展示（A）∩ B） C是AC U BC的子集。
- 首先假设x是（A）的一个元素∩ B） C。
- 这意味着x不是（A）的元素∩ B） 。
- 由于交点是A和B共有的所有元素的集合，因此上一步意味着x不能同时是A和B的元素。
- 这意味着x必须是至少一个集合AC或BC的元素。
- 根据定义，这意味着x是AC U BC的一个元素
- 我们已经展示了所需的子集包含。
我们的证明已经完成了一半。为了完成它，我们展示了相反的子集包含。更具体地说，我们必须证明AC U BC是（a）的子集∩ B） C。
- 我们从集合AC U BC中的元素x开始。
- 这意味着x是AC的元素，或者x是BC的元素。
- 因此x不是集合A或B中至少一个的元素。
- 所以x不能同时是A和B的元素。这意味着x是（A）的元素∩ B） C。
- 我们已经展示了所需的子集包含。
其他法律的证明
另一个陈述的证明与我们上面概述的证明非常相似。所要做的就是在等号两边显示集合的子集包含。
- 发表于 2021-10-20 17:40
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- 分类：数学
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