如何求3x3矩阵的行列式(find the determinant of a 3x3 matrix)

矩阵的行列式常用于微积分、线性代数和高等几何。寻找矩阵的行列式一开始可能会让人困惑，但一旦你做了几次，它就会变得更容易。...

第1部分第1部分，共2部分：寻找行列式

1写下你的3 x 3矩阵。我们将从一个3x3矩阵a开始，并试图找到它的行列式| a |。下面是我们将使用的通用矩阵表示法，以及我们的示例矩阵：M=（A11A12A13A221A22A223A31A32A33）=（153247462）{\displaystyle M={\begin{pmatrix}a_{11}&amp；a{12}&amp；a{13}\\a{21}&amp；a{22}&amp；a{23}\\a{31}&amp；a{32}&amp；a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&amp；5&amp；3\\2&amp；4&amp；7\\4&amp；6&amp；2\end{pmatrix}}

Image titled Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 1

$M={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}&a_{{13}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&a_{{23}}\\a_{{31}}&a_{{32}}&a_{{33}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$

2.选择一行或一列。这将是您的参考行或列。无论你选择哪一个，你都会得到相同的答案。现在，只选第一排。稍后，我们将给出一些关于如何选择最容易计算的选项的建议。让我们选择示例矩阵A的第一行。圈出1 5 3。一般来说，圈a11 a12 a13。

Image titled Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 2

3划出第一个元素的行和列。查看您圈出的行或列，然后选择第一个元素。在其行和列之间画一条线。你应该有四个数字。我们将把它们当作一个2x2矩阵。在我们的示例中，我们的参考行是1 5 3。第一个元素位于第1行和第1列。划掉第1行和第1列的所有内容。把剩下的元素写成2 x 2矩阵：1 5 3 2 4 4 6 2

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4求2 x 2矩阵的行列式。记住，矩阵（abcd）{\displaystyle{\begin{pmatrix}a&amp；b\\c&amp；d\end{pmatrix}}}有一个ad-bc的行列式。你可以通过在2x2矩阵上画一个X来了解这一点。将X的\连接的两个数字相乘，然后减去/连接的两个数字的乘积。用这个公式来计算你刚找到的矩阵的确定度。在我们的例子中，矩阵的行列式（4762）{\displaystyle{\begin{pmatrix}4&amp；7\\6&amp；2\end{pmatrix}}}=4*2-7*6=-34。这个行列式被称为我们在原始矩阵中选择的元素的次元素。在这种情况下，我们只找到了a11的小调。

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${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$

5根据你选择的元素将答案乘以。请记住，在决定划掉哪一行和哪一列时，您从引用行（或列）中选择了一个元素。将这个元素乘以刚才为2x2矩阵计算的行列式。在我们的示例中，我们选择了a11，其值为1。将其乘以-34（2x2的行列式）得到1*-34=-34。

Image titled Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 5

6.确定答案的符号。接下来，将答案乘以1或-1，得到所选元素的余因子。使用哪个取决于元素在3x3矩阵中的位置。记住这个简单的符号表来追踪哪个元素导致哪个：+-+-+-+-+-+因为我们选择了a11，用a+标记，我们用+1乘以这个数字。（换句话说，别管它。）答案仍然是-34。或者，您可以使用公式（-1）i+j找到符号，其中i和j是元素的行和列。

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7对引用行或列中的第二个元素重复此过程。返回原来的3x3矩阵，使用前面圈出的行或列。对该元素重复相同的过程：划掉该元素的行和列。在我们的例子中，选择元素a12（值为5）。划掉第一行（1 5 3）和第二列（546）{\displaystyle{\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}。将其余元素视为2x2矩阵。在我们的例子中，矩阵是（2742）{\displaystyle{\begin{pmatrix}2&amp；7\\4&amp；2\end{pmatrix}}找到这个2x2矩阵的行列式。使用ad-bc公式。（2*2-7*4=-24）乘以3x3矩阵的选定元素-24*5=-120确定是否乘以-1。使用符号表或（-1）ij公式。我们选择了元素a12，在符号图上。我们必须改变答案的符号：（-1）*（-120）=120。

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${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$

8重复第三个元素。你还有一个辅助因子要找。计算参考行或参考列中第三项的i。下面是一个关于如何在我们的示例中计算a13的辅因子的简要说明：划掉第1行和第3列，得到（2446）{\displaystyle{\begin{pmatrix}2&amp；4\\4&amp；它的行列式是2*6-4*4=-4。乘以元素a13:-4*3=-12。符号图上a13是+，所以答案是-12。

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${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$

9将三个结果相加。这是最后一步。您已经计算了三个辅因子，一行或一列中的每个元素对应一个辅因子。把这些加在一起，你就找到了3x3矩阵的行列式。在我们的例子中，行列式是-34+120+-12=74。

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第2部分第2部分，共2部分：简化问题

1点击0最多的参考号。请记住，您可以选择任何行或列作为引用。无论你选择哪个，你都会得到相同的答案。如果选择一个带零的行或列，只需计算非零元素的余因子。原因如下：假设您选择了第2行，其中包含元素a21、a22和a23。为了解决这个问题，我们将研究三种不同的2x2矩阵。我们叫他们A21、A22和A23。3x3矩阵的行列式是a21 | a21 |-a22 | a22 |+a23 | a23 |。如果a22和a23项都是0，我们的公式就变成了a21 | a21 |-0*| a22 |+0*| a23 |=a21 | a21 |-0+0=a21 | a21 |。现在我们只需要计算单个元素的辅因子。

Image titled Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 10

2使用行加法使矩阵更容易。如果将一行的值添加到另一行，则矩阵的行列式不变。列也是如此。你可以重复这样做——或者在加法之前将这些值乘以一个常数——在矩阵中得到尽可能多的零。这可以节省你很多时间。例如，假设你有一个3×3的矩阵：（9）−1231075−2） {\displaystyle{\begin{pmatrix}9&amp-1&amp；2\\3&amp；1&amp；0\\7&amp；5&amp-2\end{pmatrix}}为了抵消a11位置的9，我们可以将第二行乘以-3，并将结果加到第一行。新的第一行是[9-12]+[-9-30]=[0-42]。新的矩阵是（0）−4231075−2） {\displaystyle{\begin{pmatrix}0&amp-4&amp；2\\3&amp；1&amp；0\\7&amp；5&amp-2\end{pmatrix}}尝试对列使用相同的技巧，将a12也转换为0。

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${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$

3.学习三角矩阵的捷径。在这些特殊情况下，行列式只是沿着主对角线的元素的乘积，从左上角的a11到右下角的a33。我们仍在讨论3x3矩阵，但“三角形”矩阵有特殊的非零值模式：上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或上方。低于零的都是零。下三角矩阵：所有非零元素在主对角线上或下。对角线矩阵：所有非零元素都在主对角线上。（以上的一个子集。）

Image titled Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 12

如果行或列的所有元素都为0，则该矩阵的行列式为0。
该方法可推广到任意大小的方阵。例如，如果将其用于4x4矩阵，则“划掉”会留下一个3x3矩阵，您可以按照上述方法计算确定值。请注意，手工操作会变得非常乏味！

发表于 2022-03-28 05:18
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分类：教育

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