什么是洛伦兹曲线(a lorenz curve)？

洛伦兹曲线是美国经济学家马克斯·洛伦兹在1905年提出的收入不平等或财富不平等的图形表示法。该曲线图根据收入或财富在水平轴上绘制了人口的百分位数。它将累积收入或财富绘制在纵轴上，因此x值为45，y值为14.2意味着底层45%的人口控制着总收入或财富的14.2%。在实践中，洛伦兹曲线通常是一个数学函数估计从一个不完整的收入或财富的观测集。

关键要点

• 洛伦兹曲线是一个人口收入或财富分布的图形表示。
• 洛伦兹曲线将人口百分位数与处于或低于该百分位数的人的累积收入或财富进行对比。 
• 洛伦兹曲线及其导数统计量被广泛用于衡量人口之间的不平等。 
• 因为Lorenz曲线是基于将连续曲线拟合到不完整和不连续数据的数学估计，所以它们可能是真正不等式的不完美度量。

理解洛伦兹曲线

洛伦兹曲线通常伴随着一条斜率为1的直线对角线，这表示收入或财富分配完全平等；洛伦兹曲线位于其下方，显示了观察到的或估计的分布。直线和曲线之间的面积，表示为直线下面积的比值，即基尼系数，这是不等式的标量度量。

虽然洛伦兹曲线最常用来表示经济不平等，但它也可以证明任何系统中的不平等分布。曲线离直线对角线表示的基线越远，不平等程度越高。在经济学中，洛伦兹曲线表示财富或收入分配的不平等；这些都不是同义词，因为有可能有高收入，但零或负净值，或低收入，但一个大的净值。

洛伦兹曲线通常是从一个人口财富或收入分布的经验测量开始的，这个测量是基于诸如报税表之类的数据，报税表报告了大部分人口的收入。数据图可以直接用作洛伦兹曲线，或者经济学家和统计学家可以拟合表示连续函数的曲线，以填补观测数据中的任何空白。

洛伦兹曲线比基尼系数或洛伦兹不对称系数等汇总统计数据更详细地说明了财富或收入在人口中的确切分布情况。因为洛伦兹曲线直观地显示了每个百分位（或其他单位细分）上的分布，它可以精确地显示在哪个收入（或财富）百分位上观察到的分布与平等线之间的差异以及差异有多大。

然而，由于构造洛伦兹曲线需要将一个连续函数拟合到一组不完整的数据中，因此不能保证洛伦兹曲线上的值（数据中实际观察到的值除外）实际上符合收入的真实分布。沿着曲线的大多数点只是基于曲线形状的猜测，曲线形状最适合观测数据点。因此，洛伦兹曲线的形状对数据的质量和样本量以及关于什么是最佳拟合曲线的数学假设和判断非常敏感，这些可能表示洛伦兹曲线和实际分布之间的重大误差来源。

洛伦兹曲线示例

基尼系数用于表示单个图形中不等式的程度，它可以从0（或0%）到1（或100%）。完全相等，每个人都有完全相同的收入或财富，对应于0的系数。绘制为洛伦兹曲线，完全相等将是一条直线，斜率为1（该曲线与自身之间的面积为0，因此基尼系数为0）。系数1表示一个人能获得全部收入或持有所有财富。占负财富或收入的，理论上可以高于1；在这种情况下，洛伦兹曲线将下降到水平轴以下。

上面的曲线显示了一条连续的洛伦兹曲线，该曲线与描述2015年巴西收入分配的数据相吻合，与代表完全平等的直线对角线相比。在第55个收入百分位，洛伦兹曲线的值是20.59%：换句话说，这条洛伦兹曲线估计，最底层55%的人口占全国总收入的20.59%。如果巴西是一个完全平等的社会，最低55%的人将获得总收入的55%。第99个百分位数相当于累积收入的88.79%，这意味着前1%的人占巴西收入的11.21%。

为了找到近似的基尼系数，从完全相等线下的面积（定义为0.5）减去洛伦兹曲线下的面积（约0.25）。将结果除以完全相等线下的面积，得到的系数约为0.5或50%。根据中情局的数据，2014年巴西的基尼系数为49.7%。