置信区间可用于估计若干总体参数。人口比例是一种可以用推断统计估计的参数。例如,我们可能想知道支持某项立法的美国人口的百分比。对于这类问题,我们需要找到一个置信区间。
在本文中,我们将了解如何为人口比例构建置信区间,并检验其背后的一些理论。
我们先看大局,然后再谈细节。我们将考虑的置信区间类型如下:
估计+/-误差幅度
这意味着我们需要确定两个数字。这些值是所需参数的估计值以及误差范围。
在进行任何统计测试或程序之前,务必确保满足所有条件。对于人口比例的置信区间,我们需要确保以下条件成立:
如果最后一项不满意,则可以稍微调整我们的样品,并使用+4置信区间。在下文中,我们将假设上述所有条件均已满足。
我们从人口比例的估计开始。正如我们使用样本均值来估计总体均值一样,我们也使用样本比例来估计总体比例。人口比例是一个未知参数。样本比例是一种统计数据。这个统计数据是通过计算样本中成功的人数,然后除以样本中的总人数得到的。
人口比例用p表示,不言自明。样本比例的符号更复杂一些。我们将样本比例表示为p̂,我们将此符号读作“p-hat”,因为它看起来像字母p,顶部有一顶帽子。
这将成为我们置信区间的第一部分。p的估计值为p̂。
为了确定误差范围的公式,我们需要考虑p̂的抽样分布。我们需要知道平均值、标准偏差和我们正在处理的特定分布。
p̂的抽样分布是一个二项分布,具有p和n试验成功的概率。这类随机变量的平均值为p,标准偏差为(p(1-p)/n)0.5。这有两个问题。
第一个问题是,二项分布可能很难处理。阶乘的存在会导致一些非常大的数字。这就是条件帮助我们的地方。只要我们的条件满足,我们就可以用标准正态分布估计二项分布。
第二个问题是p的标准差在定义中使用了p。未知总体参数将通过使用该参数作为误差范围来估计。这种循环推理是一个需要解决的问题。
解决这一难题的办法是用标准误差代替标准偏差。标准误差基于统计数据,而不是参数。标准误差用于估计标准偏差。这个策略的价值在于我们不再需要知道参数p的值。
为了使用标准误差,我们将未知参数p替换为统计量p̂。结果是人口比例置信区间的以下公式:
p̂+/-z*(p̂(1-p̂))/n)0.5。
这里z*的值由我们的置信水平C决定。对于标准正态分布,标准正态分布的准确C%在-z*和z*之间。z*的常用值包括1.645表示90%置信度,1.96表示95%置信度。
让我们通过一个例子来看看这个方法是如何工作的。假设我们希望以95%的信心了解一个自称民主的县的百分之九十五的选民。我们对该县100人进行了简单的随机抽样,发现其中64人是民主党人。
我们看到所有条件都得到满足。我们的人口比例估计为64/100=0.64。这是样本比例p̂的值,它是置信区间的中心。
误差范围由两部分组成。第一个是z*。正如我们所说,对于95%的置信度,z*的值=1.96。
误差裕度的另一部分由公式(p̂(1-p̂)/n)0.5给出。我们将p̂=0.64,并计算标准误差为(0.64(0.36)/100)0.5=0.048。
我们将这两个数字相乘,得到0.09408的误差幅度。最终结果是:
0.64 +/- 0.09408,
或者我们可以将其改写为54.592%到73.408%。因此,我们有95%的信心,民主党的实际人口比例在这些百分比的范围内。这意味着从长远来看,我们的技术和配方将捕获95%的人口比例。
有许多想法和主题与这种类型的置信区间有关。例如,我们可以对人口比例的值进行假设检验。我们还可以比较两个不同群体的两个比例。
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