切比雪夫不等式指出,样本中至少1-1/K2的数据必须在平均值的K个标准偏差范围内(这里K是大于1的任何正实数)。
任何正态分布或钟形曲线形状的数据集都有几个特征。其中之一涉及数据相对于平均值标准偏差数量的传播。在正态分布中,我们知道68%的数据是平均值的一个标准偏差,95%是平均值的两个标准偏差,大约99%在平均值的三个标准偏差范围内。
但是,如果数据集不是以钟形曲线的形式分布,那么不同的数量可能在一个标准偏差内。切比雪夫不等式提供了一种方法,可以知道任何数据集的平均值的K标准偏差范围内的数据部分。
我们也可以通过用概率分布替换短语“样本数据”来说明上述不等式。这是因为切比雪夫不等式是概率的结果,然后可以应用于统计学。
值得注意的是,这个不等式是一个已经用数学证明的结果。它不像平均值和模式之间的经验关系,也不像连接范围和标准偏差的经验法则。
为了说明不等式,我们将研究几个K值:
假设我们在当地动物收容所采集了狗的体重样本,发现样本的平均值为20磅,标准偏差为3磅。通过使用切比雪夫不等式,我们知道我们抽样的狗中至少有75%的重量是平均值的两个标准偏差。标准偏差的两倍为2 x 3=6。从20的平均值中减去并加上。这告诉我们,75%的狗的体重在14磅到26磅之间。
如果我们对我们正在处理的分布有更多的了解,那么我们通常可以保证更多的数据是偏离平均值一定数量的标准偏差。例如,如果我们知道我们有一个正态分布,那么95%的数据是平均值的两个标准偏差。切比雪夫不等式说,在这种情况下,我们知道至少75%的数据是平均值的两个标准差。正如我们在本例中看到的,它可能远远超过这75%。
这个不等式的价值在于,它给了我们一个“更坏的情况”的场景,在这个场景中,我们对样本数据(或概率分布)的唯一了解是均值和标准差。当我们对数据一无所知时,切比雪夫不等式为数据集的分布提供了一些额外的见解。
这个不等式是以俄国数学家帕夫努蒂·切比雪夫命名的,他于1874年首次在没有证明的情况下提出了这个不等式。十年后,马尔可夫在他的博士论文中证明了这个不等式。论文由于英语中俄语字母的表示方式不同,切比雪夫也被拼写为切比雪夫。
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