什么是插值(interpolation?)

插值涉及发现一组数据点中的模式，以估计两点之间的值。线性插值是最简单的插值方法之一——连接两点的直线用于估计中间值。高阶多项式可以代替线性函数得到更精确但更复杂的结果。插值可以与外推形成对比，外推用于估计一组点之外的值，而不是它们之间的值。...

插值涉及发现一组数据点中的模式，以估计两点之间的值。线性插值是最简单的插值方法之一——连接两点的直线用于估计中间值。高阶多项式可以代替线性函数得到更精确但更复杂的结果。插值可以与外推形成对比，外推用于估计一组点之外的值，而不是它们之间的值。

一组离散的数据点具有两个或多个坐标的点。在典型的XY散点图中，水平变量为x，垂直变量为y。可以在此图上绘制具有x和y坐标的数据点，以便于可视化。在实际应用中，x和y都代表有限的真实量。X通常代表自变量，如时间或空间，而y代表因变量，如人口。

通常情况下，只能在离散点收集数据。以监测一个国家的人口为例，人口普查只能在特定时间进行。这些测量值可以绘制为XY图表上的离散数据点。

如果只每五年进行一次人口普查，就不可能知道两次人口普查之间的确切人口。在线性插值中，两个数据点用一个线性函数连接。这意味着假设因变量（总体）以恒定速率变化，以到达下一个数据点。如果人口普查后一年需要人口，可以对两个数据点进行线性插值，以基于连接线估计中间值。很明显，实际变量在数据点之间不会线性变化，但这种简化通常足够精确。。

然而，有时，线性插值在其估计中引入了太多的误差。例如，在许多情况下，人口呈指数增长。在指数增长中，增长率本身也在增加——人口越多，出生越多，这就增加了人口增长的总速度。在XY散点图中，这种行为将显示“向上弯曲”的趋势更精确的插值方法可能适用于此类研究。

多项式插值涉及用多项式函数连接多个数据点。线性函数实际上是多项式函数的简单变体，即一阶多项式。不过，多项式的阶数可以高于一阶：二阶是抛物线，三阶是三次函数，等等。与线性函数相比，使用多项式函数插值一组总体数据点可能更好，因为前者可以上下弯曲以匹配数据。

发表于 2022-02-10 08:45
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分类：科学

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