如何求函数的极限(find the limit of a function)

求函数的极限是微积分中的一个基本概念。极限用于研究函数在特定点周围的行为。计算限制涉及许多方法，本文概述了其中的一些方法。...

步骤

1采用直接替代法。例如，如果我们有limx→4（x+4）{\displaystyle{\displaystyle\lim{x\to 4}（x+4）}}，插入4{\displaystyle 4}，其中x{\displaystyle x}。这给了我们8{\displaystyle 8}。f{\displaystyle f}的极限，其中f（x）=x+4{\displaystyle f（x）=x+4}，在x=4{\displaystyle x=4}时为8{\displaystyle 8}。不过，这可能并不总是奏效；当问题涉及分母中有变量的有理函数时，如limx→2x2个−4倍−2{\displaystyle\lim{x\to 2}{\frac{\mathrm{x ^{2}-4}}{\mathrm{x-2}}}}}}}，用2{\displaystyle 2}替换x{\displaystyle x}将导致函数等于00{\displaystyle{\frac{\mathrm{0}}}}}，给您一个不确定的形式。或者，如果得到一个未定义的结果，其中分子为非零值，分母为0{\displaystyle 0}，则该限制不存在。
2尝试分解并取消导致0{\displaystyle{\frac{\mathrm{0}}}{\mathrm{0}}}}或∞∞{\displaystyle{\frac{\mathrm{\infty}}}{\mathrm{\infty}}}}}}。在上一个示例中，limx→2x2个−4倍−2{\displaystyle\lim{x\to 2}{\frac{\mathrm{x ^{2}-4}}{\mathrm{x-2}}}}}，我们可以计算出并取消x−2{\displaystyle x-2}：limx→2（x−2）（x+2）x−2{\displaystyle\lim{x\to 2}{\frac{\mathrm{（x-2）（x+2）}}}}{\mathrm{x-2}}}}}}=limx→2（x+2）{\displaystyle{\displaystyle\lim{x \ to 2}（x+2）}}。我们可以通过插入2{\displaystyle 2}来评估它，限制为4{\displaystyle 4}。
3尝试将分子和分母与共轭相乘。我们有limx→42−x4级−x{\displaystyle\lim{x\to 4}{\frac{\mathrm{2-{\sqrt{x}}}}}}}{\mathrm{4-x}}}}}}}}。如果将分子和分母与（2+x）{\displaystyle（2+{\sqrt{x}}}）相乘，则会将其转换为limx→44−x（4−x）（2+x）{\displaystyle\lim{x\to 4}{\frac{\mathrm{4-x}}}{\mathrm{（4-x）（2+{\sqrt{x}}}}}}}}}。您可以取消（4−x） {\displaystyle（4-x）}以获得更简单的limx→412+x{\displaystyle\lim{x\to 4}{\frac{\mathrm{1}}}{\mathrm{2+{\sqrt{x}}}}}}}}}}。这一共有14个{\displaystyle{\frac{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}}}}}。
4使用三角变换。如果你的极限是limθ→01−cosθ{\displaystyle\lim{\theta\to 0}{\frac{\mathrm{1-cos\theta}}}{\mathrm{\theta}}}}}，将分子和分母与（1+cosθ）{\displaystyle（1+cos\theta）}相乘，得到limθ→01−cos2θ（θ）（1+cosθ）{\displaystyle\lim{\theta\to 0}{\frac{\mathrm{1-cos ^{2}\theta}}}{\mathrm{（\theta）（1+cos\theta）}}}}}。使用sin2θ+cos2θ=1{\displaystyle sin ^{2}\theta+cos ^{2}\theta=1}并分离相乘的分数以获得limθ→0sinθ{\displaystyle\lim{\theta\to 0}sin\theta}∗{\displaystyle*}sinθ{\displaystyle{\frac{\mathrm{sin\theta}}{\mathrm{\theta}}∗{\displaystyle*}1（1+cosθ）{\displaystyle{\frac{\mathrm{1}}}{\mathrm{（1+cosθ）}}}}}}}}。您可以插入0{\displaystyle 0}以获取0∗1.∗1{\displaystyle 0*1*1}。限制为0{\displaystyle 0}。
5在无穷远处寻找极限。林克斯→01x{\displaystyle\lim{x\to 0}{\frac{\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}}}}}在无穷大处有一个限制。它不能简化为一个有限数。如果是这种情况，请检查函数的图表。对于示例中的限制，如果查看y=1x{\displaystyle y={\frac{\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}}}}的图，您将看到y→∞{\displaystyle{\displaystyle y\to\infty}}作为x→0{\displaystyle{\displaystyle x\to 0}}。
6使用L'Hôpital法则。这用于诸如00{\displaystyle{\frac{\mathrm{0}}}{\mathrm{0}}}}}或∞∞{\displaystyle{\frac{\mathrm{\infty}}}{\mathrm{\infty}}}}}}。这个规则表明，对于开区间I上可微的函数f和h，除了I中的点c，如果limx→cf（x）{\displaystyle{\displaystyle\lim{x\to c}f（x）}}=limx→ch（x）=0{\displaystyle{\displaystyle\lim{x\to c}h（x）}=0}或limx→cf（x）{\displaystyle{\displaystyle\lim{x\to c}f（x）}}=limx→ch（x）=±∞{\displaystyle{\displaystyle\lim{x\to c}h（x）}=\pm\infty}和h′（x）≠0{\displaystyle{\displaystyle h'（x）\neq 0}对于所有x≠c{\displaystyle{\displaystyle x\neq c}在I{\displaystyle I}中，如果limx→cf′（x）h′（x）{\displaystyle\lim{x\to c}{\frac{\mathrm{f’（x）}}}{\mathrm{h’（x）}}}}}}}存在，limx→cf（x）h（x）=limx→cf′（x）h′（x）{\displaystyle\lim{x\to c}{\frac{\mathrm{f（x）}}}{\mathrm{h（x）}}}}}}=\lim{x\to c}{\frac{\mathrm{f（x）}}}{\mathrm{h（x）}}}}}}。此规则将不确定的表单转换为易于计算的表单。例如，limθ→0sinθ{\displaystyle\lim{\theta\to 0}{\frac{\mathrm{sin\theta}}}}{\mathrm{\theta}}}}}=limθ→0cosθ1{\displaystyle\lim{\theta\to 0}{\frac{\mathrm{cos\theta}}}{\mathrm{1}}}}}}=11{\displaystyle{\frac{\mathrm{1}}}}}=1{\displaystyle 1}。

发表于 2022-06-09 16:31
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分类：教育和通信

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