如何欧几里得相交弦定理的证明(prove the intersecting chords theorem of euclid)

当我们第一次阅读欧几里得《元素》第三卷的命题35时，人们可能会惊讶地发现，相交的和弦创造了两个相等的矩形，无论它们的交点是否在中心，但这很容易理解。本文将教你证明相交（或交叉）弦定理；具体来说，两个和弦AD和BC如何创建两个相等的矩形。...

第1部分第1部分（共4部分）：教程

1理解欧几里得相交弦定理的定义。相交弦定理断言了以下非常有用的事实：给定一个圆内部的点P，两条线穿过P、AD和BC，然后AP*PD=BP*PC——由相邻线段形成的两个矩形实际上相等。本文通过几个步骤向您展示了如何证明这一点。

Image titled Prove the Intersecting Chords Theorem of Euclid Step 1

2改进三角形ABP和CDP的相似性，这是其角度的结果，因为：BAD=BCD，因为同一弦BD所包含的内接角度相等[Book III命题20和21]；ABC=ADC，因为同一和弦AC所包含的内接角相等[第三卷命题20和21]；APB=CPD，因为它们是一对垂直角（垂直角由相同的相交线形成）。

Image titled Prove the Intersecting Chords Theorem of Euclid Step 2

Image titled Prove the Intersecting Chords Theorem of Euclid Step 2Bullet1

Image titled Prove the Intersecting Chords Theorem of Euclid Step 2Bullet2

Image titled Prove the Intersecting Chords Theorem of Euclid Step 2Bullet3

3证明从三角形的相似性中得到了ABP和CDP的这些恒等式和比例：1）AP/PC=BP/PD=AB/CD。这就是相似三角形的基本联系。

Image titled Prove the Intersecting Chords Theorem of Euclid Step 3

4证明上述第一个恒等式，AP/PC=BP/PD，通过交叉乘法直接得出相交弦定理：AP*PD=BP*PC。这就是该定理是如何在几何和数学上得出的，因为这两个乘积确实是矩形的。

Image titled Prove the Intersecting Chords Theorem of Euclid Step 4

5研究并发现欧几里得给出的证明更长、更复杂，并且使用了毕达哥拉斯定理，这本身就是一个相当长的证明。为了理解这些证明是如何操作的，请参阅下面欧几里得“元素”的翻译文本。

Image titled Prove the Intersecting Chords Theorem of Euclid Step 5

第2部分第2部分（共4部分）：解释性图表、图表、照片

Image titled Intersecting Chords Diagram 1 1

第3部分第3部分（共4部分）：有用的指导

1在继续学习本教程时，请使用助手文章：有关Excel、几何和/或三角艺术、图表/图解和代数公式的文章列表，请参阅文章How To Multiply and Divide geometry Like Mother Nature。有关更多艺术图表和图形，您可能还希望单击“类别：Microsoft Excel Images”、“类别：Mathematics”、“类别：Spreadsheets”或“类别：Graphics”以查看许多将三角、几何和微积分转化为艺术的Excel工作表和图表，或者只需单击此页面右上角白色部分或页面左下角显示的类别。

第4部分第4部分（共4部分）：视频辅助。通过使用这项服务，一些信息可以与youtube共享。

欧几里得的证明取决于他对勾股定理的证明；下面是该证明的图片：
为了帮助理解圆中具有相等基的角度在其远端再次接触圆的地方如何具有相同的角度，这里复制了欧几里得先前定理的两张图片，即第三卷命题20和21：
如上所述，欧几里得自己的证明，第三卷第35页，篇幅更长，涉及面更广，因为它还包括勾股定理证明。这是证明的图片：

发表于 2022-07-07 23:29
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分类：教育和通信

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