サブセットとスーパーセット

数学では、集合の概念が基本である。現代の集合論の研究は19世紀末に形式化され、集合論は現代数学の基本原理の宝庫であり、数学の基本言語である。一方、それ自体が数学の一分野であり、現代数学では数理論理学の一分野として分類されている。

セットとは、明確に定義されたオブジェクトの集合のことです。よく定義されているとは、ある対象が特定の集合に属するかどうかを判断できるメカニズムが存在することを意味する。集合に属するオブジェクトは、集合の要素またはメンバーと呼ばれます。集合は通常大文字で、要素は小文字で表記されます。

集合Aのすべての要素が集合Bの要素でもある場合に限り、集合Aは集合Bの部分集合であるという。この集合間の関係をA⊆Bと表記する。また、「AはBに含まれる」とも理解できる。A⊆BでA≠Bのとき、Aは真部分集合といい、A⊂Bと表記する。AのメンバーでBのメンバーでないものが1つでもあれば、AはBの部分集合にはなりえません。空集合は、任意の集合の部分集合であり、集合そのものは同じ集合の部分集合である。

AがBの部分集合である場合、AはBに含まれる。これは、BがAを含む、言い換えればBがAのスーパーセットであることを意味します。BがAのスーパーセットであることを表すために、A⊇Bと表記する。

例えば、A = {1, 3}はB = {1, 2, 3}の部分集合であり、BはAを含むのでBに含まれるAの要素はすべてAのスーパーセットである。すると、A∩B＝｛3｝となる。したがって、A、BともにA∪Bのスーパーセットとなる。A∪BはAとBのすべての要素を含むので、AとBのスーパーセットである。

AがBのスーパーセットで、BがCのスーパーセットなら、AはCのスーパーセットである。任意の集合Aは空集合のスーパーセットであり、任意の集合はそれ自身がその集合のスーパーセットである。