偏差値・標準偏差

偏差値・標準偏差

記述統計学や推測統計学では、データセットを記述するために、その中心傾向、分散、歪度などに相当するいくつかの指標を用います。統計的推論では、全体のパラメータ値を推定するため、推定量と呼ばれることが多い。

分散とは、データセットの中心を中心としたデータの分布を示す指標である。標準偏差は、分散を表す最も一般的な尺度の一つである。標準偏差の計算では、各データポイントの平均からの偏差を考慮する必要があります。したがって、標準偏差と平均値でデータセットをほぼ適切に把握することができると言えるでしょう。

10人の体重（kg）を測定したところ、70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77, 79であったので、10人の平均体重（kg）は71（kg）となる。

偏差値とは？

統計学では、偏差とは、あるデータ点が固定値（平均値など）と異なる量である。一般に、kは固定値、x1, x2, ..., xnはデータセットを表す。そして、xjのkからの偏差は、(xj - k)と定義される。

例えば、上記のデータセットにおいて、平均値からの偏差は、(70-71)=-1、(62-71)=-9、(65-71)=-6、(72-71)=1、(80-71)) = 9, (70-71) = 1, (63-71) = 8, (72-71) = 1, (77-71) = 6, (79-71) = 8となった。

標準偏差とは何ですか？

すべての母集団のデータを考慮できる場合（例えば国勢調査の場合）には、母集団の標準偏差を算出することができる。全体の標準偏差を計算するために、まず全体の平均値からのデータ値の偏差を計算する。偏差値（二乗平均値）の二乗根を総合標準偏差という。表記法としては、S = = {{(2)/n} で、seat は母平均、n は母数である。

サンプル（サイズn）のデータを使って全体のパラメータを推定する場合、サンプルの標準偏差を計算する。まず、データ値の標本平均からの偏差を算出する。全体の平均（不明）ではなく、標本平均を使用しているので、二次平均を使用するのは適切ではありません。標本平均を使用するため，偏差の二乗和を n ではなく (n - 1) で割ったものが標本標準偏差で，その平方根が標本平均です。数学的表記法では、S = {{(2)(n-1)}, ここでSは標本標準偏差、すなわち標本平均とシートはデータ点である。

先のデータセットでは、偏差の二乗和は、(-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 12 + 92 + (-1)2 + (-8)2 + 12 + 62 + 82 = 366。 したがって、全体の標準偏差は√(366/10) = 6.05 (kg) となる。(対象となる母集団は、彼らがデータを取得した10人から構成されていると仮定して)。