全体およびサンプルの標準偏差

統計学では、データセットを記述するために、その中心傾向、分散、歪度に相当するいくつかの指標を用いる。標準偏差は、データセット中のセントロイドデータの分散を表す最も一般的な尺度の一つである。

現実的な問題として、仮説を検証する際に全人口のデータを使用することは不可能である。そのため、サンプルのデータ値から全体の母集団を推測する。この場合、全体のパラメータ値を推定するため、これらを推定量と呼ぶ。

推論において不偏推定量を使用することは非常に重要である。推定値の期待値が全体のパラメータと等しい場合、その推定値は不偏であると言われる。例えば、全体の平均の不偏推定量として標本平均を使用する。(数学的には、標本平均の期待値は全体の平均と等しいことが示される)。また、サンプル全体の標準偏差の推定値も不偏である。

全体の標準偏差はどのくらいですか？

すべての母集団のデータを考慮できる場合（例えば国勢調査の場合）には、母集団の標準偏差を算出することができる。全体の標準偏差を計算するために、まず全体の平均値からのデータ値の偏差を計算する。偏差値（二乗平均値）の二乗根を総合標準偏差という。

10人程度のクラスであれば、生徒の情報を簡単に収集することができます。この学生集団で仮説を検証するのであれば、標本値を使用する必要はありません。例えば、10人の生徒の体重（キログラム）を測ると、70、62、65、72、80、70、63、72、77、79となり、10人の平均体重（キログラム）は（70＋62＋65＋72＋80＋70＋63＋72＋77＋79）／10で、71（キログラム）となります。これは人口平均値です。

さて、全体の標準偏差を計算するために、平均からの偏差を計算する。平均値からの偏差は(70-71)=-1, (62-71) = -9, (65-71) = -6, (72-71) = 1, (80-71) = 9, (70-71) = -1, (63-71) = -8, (72-71) = 1, (77-71) = 6, (79-71) = 8。偏差の二乗和は (-1)2 + (-9)2 + (-1)2 + (-6)2 + 12 + 62 + 82 = 366となります。) 2 + (-6)2 + 12 + 92 + (-1)2 + (-8)2 + 12 + 62 + 82 = 366 全体の標準偏差は √(366/10) = 6.05 (kg) で、71 はクラスの平均体重、 6.05 は 71 からの標準偏差の正確な値です。

標本の標準偏差とは何ですか？

サンプル（サイズn）のデータを使って全体のパラメータを推定する場合、サンプルの標準偏差を計算する。まず、データ値の標本平均からの偏差を算出する。全体の平均（不明）ではなく、標本平均を使用しているので、二次平均を使用するのは適切ではありません。標本平均を使用するため、偏差の二乗和をnではなく、(n-1)で割る。標本標準偏差はその平方根である。数学的表記法では、S = {{(2)(n-1)}, ここでSは標本標準偏差、すなわち標本平均とシートはデータ点である。

さて、先ほどの例で、母集団が学校全体であったとします。その後、授業はサンプルに過ぎない。この標本を推計に用いると、366を10（標本数）ではなく9で割るので、標本標準偏差は√(366/9)=6.38（kg）となる。ただし、これは正確な総合標準偏差の値であることを保証するものではありません。あくまで目安です。

全体の標準偏差と標本の標準偏差の違いは何ですか？-全体の標準偏差はオフセンター偏差を測定するために使用される正確なパラメータ値であり、サンプルの標準偏差はその不偏推定値である。-母集団の標準偏差は、母集団内の各個体のすべてのデータがわかっている場合に計算されます。また、標本標準偏差は、標準値α＝｛（2）／n｝、すなわち母平均、nは母数で与えられるが、標本標準偏差は、S＝｛（2）／（n-1）｝、すなわち席は標本平均、nは標本数で与えられる。