相互排他的なイベントと独立したイベント

よく、「互いに排他的な事象」と「独立した事象」が混同されることがありますが、実はこの2つは別のものです。

AとBを無作為の実験に伴う任意の2つの事象とし、P(A)を「Aの確率」と呼ぶことにする。同様に、Bの確率をP（B）、AまたはBの確率をP（A∪B）、AおよびBの確率をP（A∩B）と定義することができる。すると、P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) となる。

しかし、一方の事象の発生が他方の事象に影響を与えない場合、その2つの事象は相互に排他的であると言われます。つまり、同時に発生することはありえないのです。したがって、AとBが相互に排他的である場合、AとBは相互に排他的である。

AとBを標本空間Sにおける二つの事象とする。Bが発生したと仮定して、Aの条件付き確率をP（A｜B）と表し、P（B）＞0であれば、P（A｜B）＝P（A∩B）／P（B）として定義する（それ以外は定義されない）。

事象Aは、事象Bの発生確率に影響されない、つまり、事象Bの結果が事象Aの結果に影響しない場合、事象Bから独立であるといいます。したがって、P(A｜B)=P(A)となる。同様に、P(B)=P(B｜A)であれば、BはAから独立している。したがって、AとBが独立した事象であれば、P(A∩B) = P(A.P(B)) と結論づけることができます。

数字の書かれた立方体が転がり、公平なコインが投げられたとする。頭が出る事象をA、偶数が転がる事象をBとする。そして、一方の事象の結果が他方の事象の結果に影響しないので、事象AとBは独立であると結論づけることができる。したがって、P（A∩B）＝P（A）、P（B）＝（1/2）（1/2）＝1/4となり、P（A∩B）≠0なので、AとBは相互に排他的であることはありえない。

骨壺の中に白いビー玉が7個、黒いビー玉が8個入っているとする。事象Aを白いビー玉を引いたと定義し、事象Bを黒いビー玉を引いたと定義する。各マーブルは色を記した後に交換されると仮定すると、P(A)とP(B)は、何度骨壷から抽選しても常に同じになります。ビー玉を入れ替えるということは、前回の抽選でどの色を選んだとしても、抽選によって確率が変わることはない。したがって、事象AとBは独立である。

しかし、もし交換用の大理石がなければ、すべてが変わってしまうのです。この仮定では、事象AとBは独立ではない。1回目に白いビー玉を引くと、2回目に黒いビー玉を引く確率が変わる、というように。つまり、それぞれの抽選が次の抽選に影響を与えるので、個々の抽選は独立していないのです。