放物線と双曲線

ケプラーは惑星の軌道を楕円と表現し、ニュートンは後にこの楕円が放物線や双曲線といった特殊な円錐曲線であることを指摘し、修正したのである。放物線と双曲線には多くの類似点があるが、これらの円錐断面を含む幾何学的問題を解くための異なる方程式が存在するため、相違点もある。放物線と双曲線の違いをよりよく理解するためには、これらの円錐曲線について理解する必要がある。

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断面とは、立体図形を平面で切断してできた面、またはその輪郭のことです。立体図形がたまたま円錐であった場合、得られる曲線は円錐曲線と呼ばれる。円錐断面の種類と形状は、平面と円錐の軸の交わる角度で決まる。円錐を軸に直角に切ると、円形になる。直角より小さく、円錐の側面が作る角度以上で切ると、楕円になる。円錐の側面に平行に切ると放物線、側面にある軸にほぼ平行に切ると双曲線と呼ばれる曲線が得られます。図からわかるように、円と楕円は閉じた曲線であり、放物線と双曲線は開いた曲線である。放物線の場合、2本の腕は最終的に平行になるが、双曲線の場合はそうならない。

円や放物線は円錐を特定の角度で切って作られるため、円はすべて同じ形、放物線はすべて同じ形となる。双曲線や楕円の場合、平面と軸のなす角度に幅があるため、形状が大きく変化する。4種類の円錐曲線の方程式を以下に示す。

円 - x2 + y2 = 1

楕円 - x2/a2 + y2/b2 = 1

放物線 - y2 = 4ax