方法1 方法1/2：素因数分解を利用する。

1. 1 数値を完全平方係数で割る。この方法は、ある数の因数分解を使って、その数の平方根を求めるものです（数によっては、正確な数値の答えになることも、近い推定値になることもあります）。ある数の因数分解は、他の数を掛け合わせた任意の集合である。一方、完全平方とは、他の整数の積のことである。例えば、25、36、49はそれぞれ52、62、72なので完全平方です。ご想像の通り、完全平方因子は完全平方因子のことでもあるのです。素因数分解で平方根を求めるには、まず、数を完全平方根まで減らしてみてください。例を挙げてみましょう。400の平方根を手計算で求めたい。まず、数字を完全平方係数に分割してみよう。400は100の倍数なので、25で均等に割ることができます。計算すると、25が400になるのは16回。したがって、25×16＝400なので、400の完全平方係数は25と16となり、次のように書くことができる。 sqrt(400) = sqrt(25×16)

2. 2 完全平方係数の平方根をとる。平方根の積の性質から、任意の数aとbに対してSqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b)が成立することがわかります。この性質のおかげで、完全平方係数の平方根をとって掛け合わせれば、答えが得られるようになったのです。この例では、25と16の平方根を取りたいのです。下記参照：Sqrt(25×16) Sqrt(25) × Sqrt(16) 5 × 4 = 20

3. 3 数に完全な因数がない場合は、答えを最も簡単な言葉に置き換えてください。実生活では、平方根を求める必要がある数字は、400のような完全な係数が明らかな丸い数字ではないことが多いのです。このような場合、整数であるため正確な答えを求めることができない場合があります。その代わり、できる限りの完全平方係数を見つけることで、より小さくシンプルで扱いやすい平方根で答えを見つけることができます。そのためには、数字を完全平方因子と非完全平方因子の組み合わせに還元し、簡略化します。147の平方根を例にとると、147は完全平方同士の積ではないので、上記のように正確な整数値を求めることはできません。しかし、これは1つの完全平方と49と3という別の数の積である。この情報を使って、答えを最も単純な言葉で書くと、Sqrt(147) = Sqrt(49 x 3) = Sqrt(49) x Sqrt(3) = 7 x Sqrt(3) である。

4. 4 必要に応じて、見積もりをする。最も単純な平方根であれば、残った平方根の値を推測して掛け合わせることで、通常は簡単に数の答えを概算で得ることができる。推算の目安としては、平方根の完全平方数を数字の両側で見つけるという方法があります。平方根の数値の小数点以下の値が、この2つの数値の間のどこかにあることがわかるので、あとはその間を推測すればいいのです。例題に戻ろう。22=4、12=1なので、Sqrt(3)は1と2の間、つまり1より2に近いことがわかるので、1.7と推定する。 7×1.7=11.9 計算機で確認すると、実際の答え12.13にかなり近いことがわかる。例えば、Sqrt(35)は5と6の間（おそらく6に非常に近い）であると推定されます。52=25と62=36は35が25と36の間にあるので、その平方根は5と6の間でなければなりません。35は36から1つだけ離れているので、その平方根は6より低いだけだと言ってよいでしょう。電卓で確認したところ、答えは5.92くらいで、正解でした。

5. 5 最初のステップとして、数を最小公倍数まで減らしてください。ある数の素因数（素数の因数でもある）を簡単に求めることができれば、完全平方因数を求める必要はないのです。数字を最小公倍数で書きなさい。そして、因数分解で一致する素数のペアを探します。一致する2つの素因数が見つかったら、両方の数字を平方根から取り除き、片方の数字を平方根の外に置きます。45 = 9 x 5 と 9 = 3 x 3 がわかっているので、平方根を因数分解して次のように書きます。 sqrt(3 x 3 x 5)。最も単純な平方根は、3を取り除き、平方根の外側に3を置くだけで得ることができます。(3) Sqrt(5)です。最後の例として、88の平方根を求めてみよう。Sqrt(88) = Sqrt(2 x 44) = Sqrt(2 x 4 x 11) = Sqrt(2 x 2 x 11)である。2は素数なので，1組を取り除き，1組を平方根の外側に置くことができます．= 私たちの平方根は、最も簡単に言うと、（2）Sqrt（2×11）または（2）Sqrt（2）Sqrt（11）である。ここからSqrt(2)とSqrt(11)を推定し、必要なら近似的な答えを求めることができるのです。

方法2 方法2：手動で平方根を求める

長割算のアルゴリズムを使用

1. 1 数字をペアに分ける。この方法は、長割と同じような処理で、正確な平方根を一桁ずつ求めていくものです。この作業は必須ではありませんが、ワークスペースと数字を作業しやすい大きさに視覚的に整理しておくと、作業がしやすいかもしれません。まず、ワークスペースを2分割するために縦線を引き、右側のセクションの上部付近に短い横線を引いて、右側のセクションを上部の小さいセクションと下部の大きいセクションに分割します。次に、小数点を起点として、数字を2つずつに分割します。例えば、79,520,789,182.47897は、この法則に従えば、「7 95 20 78 91 82.47 89 70」となる。左のスペースの上部に数字を書き込んでください。例として、780.14の平方根を計算してみましょう。上のように2本の線を引いてワークスペースを区切り、左のスペースに「7 80.14」と書き、左のスペースの一番上に書いてください。左端のチャンクは、数字のペアではなく、1つの数字であってもよい。右上のスペースに答え（780.14の平方根）を書きます。

2. 2 二乗が左端の数（または組）以下となる最大の整数nを求めよ。ペアでも数字でも、数字の一番左の「かたまり」から始めます。この塊以下の最大の完全平方を見つけて、この完全平方 の平方根をとります。右上にnを書き、右下の四角にnの2乗を書きなさい。この例では、一番左の「かたまり」が数字の7であり、22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9と分かっているので、n = 2は、その2乗が7以下の最大の整数であると言うことができる。右上の四角に2を書きなさい。これが答えの最初の数字です。右下の四角に4（2の2乗）を書き入れます。この数値は次のステップで重要になります。

3. 3 一番左の数字の組から、今計算した数字を引きます。長い割り算と同じように、次は今分析したピースから今見つけたマスを引き算します。この数字を最初のブロックの下に書いてから引き算をし、その下に答えを書きます。この例では、7の下に4を書き、引き算をしました。これによって、答えは「3」となる。

4. 4.次のペアを置く。解こうとしている数の平方根の次の「ブロック」を、先ほど求めた値の横に移動して引き算をする。次に右上の数字を2倍して、右下の四角に書きます。今書き留めた数字の横に、次にやる掛け算の問題のために「"_×_="」と書くスペースを空けてください。この例では、次の数字の組は「80」である。左の四角の3の横に「80」と書いてください。次に、右上の象限にある数字に2をかけます。この数字は2なので、2×2＝4です。右下の象限には、「'4'」の後に、_×_＝と書きます。

5. 5 右の象限内の空欄を埋めてください。右の四角の空欄をそれぞれ同じ整数で埋める必要があります。この整数は、右四分円の乗算問題の結果を左の現在の数以下にすることができる最大の整数でなければならない。この例では、空欄を8で埋めると、4（8）×8＝48×8＝384となり、380より大きくなる。したがって、8は大きすぎるが、7も実現可能かもしれない。4(7)×7＝329.7 は，329 が 380 よりも小さいので正解です。これは、780.14の平方根の2番目の数字です。

6. 6 左側の現在の数値から、先ほど計算した数値を引きます。続けて、長割式の連鎖的な引き算を行う。右の四角の掛け算の問題の結果を、左の現在の数から引き、下に答えを書きなさい。この例では、380から329を引いて51としています。

7. 7 手順 4 を繰り返す。求めている数値の平方根の次のピースを落とします。数値が小数点以下になったら、右上の四角の答えに小数点を書き込んでください。次に、右上の四角の数字を2倍して、上と同じように空欄の掛け算の問題（"_×_"）の横に書き込んでください。この例では、今、780.14という小数点が発生しているので、現在の答えの右上に小数点を書きます。次に、次のペア(14)を左の四角に配置します。右上の四角の数字（27）の2倍は54なので、右下の四角に「54 _×_=」と書きます。

8. 8 手順5と6を繰り返し、答えが左の現在の数以下となるように、右の隙間を埋める最大の数を求めます。そして、問題を解決してください。この例では、549×9＝4941となり、左の数字（5114）以下となる。 549×10＝5490となり、高すぎるので、9が答えとなる。右上に次の数字として9を書き、左の数字から掛け算の結果を引きます：5114から4941を引くと173になります。

9. 9.数字を数え続ける。左のゼロのペアをドロップし、手順4、5、6を繰り返します。精度を上げるには、この作業を繰り返して、答えの数百、数千などを求めます。このサイクルを、必要な小数点以下の答えが出るまで続けるのです。

プロセスの理解

1. 1 正方形の面積をL2、その一辺の長さをLとすると、計算しようとしている数の平方根を求めることは、その正方形の一辺の長さLを計算しようとすることである。

2. 2 回答に含まれる各数値に文字の変数を割り当ててください。変数AをL（計算したい平方根）の最初の数として指定し、bをその2番目の数、cをその3番目の数、といった具合に指定します。

3. 3 開始番号の各「ブロック」に文字変数を割り当てる。Sの最初の桁の組（開始値）に変数Satoを、2番目の桁の組に変数Sbを割り当てる、など。

4. 4 この方法が長割とどのように関係しているかを理解する。この平方根の求め方は、基本的に長割の問題で、始めの数を平方根で割って、その平方根を答えとするものである。長い割り算の問題では一度に次の数字にしか興味がないように、ここでは一度に次の2つの数字（平方根の次の数字に相当する）に興味があるのです。

5. 5 二乗がサ以下となる最大の数を求めよ。答えの最初の数Aは、2乗がSaを超えない最大の整数です（A²≦Sa < (A+1)²の意味です）。この例では、Sa = 7、2² ≤ 7 < 3² なので、A = 2となる。なお、例えば88962を7で割りたい場合、最初のステップは似ている。88962の最初の数（8）を見て、7をかけたときに8以下の最大数を求める。基本的には、7×d ≤ 8 < 7×()となるdを求めなければならない。d+1).この場合、dは1になる。

6. 6.解き始めた正方形の面積を想像してください。答えは、始めの数の平方根で、面積がS（始めの数）の正方形の長さを表すLとなります。別の言い方をすれば、2桁の答えなら10A＋B＝L、3桁の答えなら100A＋10B＋C＝L、といった具合である。この例では、(10A+B)²=L2=S=100A²+2×10A×B+B²となります。10A+Bは、Bを単位の位置に、Aを十の位置に置いて、答えのLを表していることを思い出してください。例えば、A=1、B=2とすると、10A+Bは単純に数字12となる。(10A+B)²は正方形全体の面積、100A²は中にある一番大きな正方形の面積、B²は一番小さな正方形の面積、10A×Bは残る2つの長方形の面積である。このような長い紆余曲折を経て、中の正方形と長方形の面積を足すことで、正方形全体の面積を求めることができました。

7. 7 SaからA²を引きます。 Sbは、先ほど大きい方の内部面積を引いた正方形の総面積に近いです。余りは、手順4で求めた数N1として見ることができる（この例ではN1 = 380）。 N1は、2 x 10A x B + B² （2つの長方形の面積と小さいほうの正方形の面積）に等しい。

8. 8 N1 = 2 × 10A × B + B² を求めよ、N1 = (2 × 10A + B) × B とも書かれる。この例では、N1 (380) と A(2) は既に分かっているので、B を求める必要がある。B はおそらく整数ではないので、実際には (2 × 10A + B) × B≦N1 となる最大の整数 B を求めなければならない。× 10a + (b+1))× (b+1)となります。）

9. 9 解く。つまり、（2×10＋B）×Bを解けばよい。これは、手順4で右下の四角に「N_×_=」と書いたのと全く同じである（N＝2×A）。手順5では、（2×10A＋B）×B≦N1となるように、下線上に収まる最大の整数Bを求めます。

10. 10 は、総面積から (2 x 10A + B) x B の面積を引く。 これは、まだ計算していない面積 S - (10A + B)² を与える (同様の方法で次の図を計算する)。

11. 11 次の数字Cを計算するために、この作業を繰り返す。Sから次の組（Sc）を取り除いて左のN2とし、（2×10×（10A＋B）＋C）×C≦N2となるように最大のCを探します（2桁の「A B」の後に「_×_＝」を2回書くことに相当します）．前回同様、答えがN2以下となるように、空欄を埋めるのに適した最大の数を求めます。

• この方法は、10進数だけでなく、どのような基数でも有効です。
• この例では、1.73は「余り」と考えることができます： 780.14 = 27.9² + 1.73.
• 数値の小数点を2刻み（100倍）で、平方根を1刻み（10倍）で移動させます。
• 自分の好きな微積分を考えるのは自由です。ある人は結果を開始番号の上に書きます。
• また、連分節の使い方は、この式に従うことができます。√z=√(x^2+y)=x+y/(2x+y/(2x+y/(2x+...))).例えば、780.14の平方根を計算する場合、その2乗が780.14である最も近い整数は28なので、z = 780.14, x = 28, y = -3.86 となり、x + y/(2x) だけでもすでに（最低項） 78207/2800 または約 27.931(1) 、次項の 4374188/156607 となり、これを突っ込んで推定するとまたは約27.930986(5)である。各項目は、前の項に3桁近い精度を加えている。