二項分布と正規分布

統計学において、確率変数の確率分布は重要な位置を占めている。これらの確率分布のうち、実生活で最もよく使われるのが二項分布と正規分布である。

二項分布とは何ですか？

二項分布とは、確率変数Xに対応する確率分布のことで、成功回数が決まっている独立したイエス・ノー実験を、それぞれ成功確率pで並べたものです。Xの定義から、離散的な確率変数であることは明らかなので、二項分布も離散的です。

この分布は、X ~B(n,p) と表され、n は実験回数、p は成功の確率である。確率論によれば、B(n,p)は確率質量関数に従うことが推論される。この式からさらに、Xの期待値E（X）＝np、Xの分散V（X）＝np（1-p）が推論される。

例えば、コインを3回投げるというランダムな実験をするc○○○ider。Hを得ることを成功、Tを得ることを失敗とし、確率変数Xを実験の成功回数と定義する。とすると、X~B(3, 0.5)となり、Xの確率質量関数は、.で与えられる。したがって、少なくとも2つのHが得られる確率は、P（X≧2）＝P（X＝2またはX＝3）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝3C2（0.52）（0.51）+3C3（0.53）（0.50）＝0.375 + 0.125 = 0.5 になります。

正規分布とは何ですか？

正規分布は、確率密度関数、...で定義される連続的な確率分布である。パラメータは、対象母集団の平均と標準偏差を示す。その分布を標準正規分布と呼ぶ場合。

この分布は、ほとんどの自然現象が正規分布に従うことから、正規分布と呼ばれています。例えば、人間のIQは正規分布しています。グラフからわかるように、1つのピークを持ち、平均値について対称的で、ベル型である。平均値、最頻値、中央値は一致する。曲線の下の面積は、与えられた条件を満たす母集団の割合に相当する。

の区間にある人口の割合は、それぞれ約68.2％、95.6％、99.8％である。

• 二項分布は離散的な確率分布であり、正規分布は連続的な確率分布である。
• 二項分布の確率質量関数は次のようになり、正規分布の確率密度関数は次のようになります。
• ある条件下では、二項分布は正規分布に近似し、むしろその逆となる。