對期權進行估值可能是一件棘手的事情。考慮以下場景:2015年1月,IBM股價為155美元,您預計它將在未來一年走高。您打算以155美元的ATM執行價購買IBM股票的看漲期權,與以高買入價購買股票相比,基於較小的期權成本(期權溢價),預期從高百分比回報中獲益。
今天,有兩種不同的現成方法可用於價值選擇,包括Black-Scholes模型和二項式樹模型,它們可以提供快速的答案。但是,形成這種估值模型的潛在因素和驅動因素是什麼?基於這些模型的概念,可以準備類似的東西嗎?
在這裡,我們將介紹構建模組、基本概念和可作為框架用於構建期權等資產的估值模型的因素,並與Black-Scholes(BS)模型的起源進行併列比較。
本文並不打算質疑BS模型的假設或任何其他因素(這是一個完全不同的主題);相反,它旨在解釋布萊克-斯科爾斯模型的基本概念,以及估值模型的發展思路。
在Black-Scholes之前,基於均衡的資本資產定價模型(CAPM)被廣泛採用。根據投資者的偏好,回報和風險是相互平衡的,即高風險投資者預期會得到類似比例的(潛在的)更高回報的補償。
BS模型源於CAPM。Fischer Black認為:“我將資本資產定價模型應用於權證生命中的每一個時刻,針對每一個可能的股價和權證價值。”不幸的是,CAPM無法滿足權證(期權)定價的要求。
Black-Scholes仍然是第一個基於套利概念的模型,從基於風險的模型(如CAPM)轉變為正規化。這種新的BS模型開發取代了CAPM股票回報概念,因為它認識到一個完美的對沖頭寸將獲得一個無風險的利率。這排除了風險和收益的變化,並建立了套利的概念,其中估值是在風險中性概念的假設下進行的——套期保值(無風險)頭寸應導致無風險收益率。
讓我們從確定問題、量化問題和開發解決方案的框架開始。我們繼續我們的例子,對IBM的ATM看漲期權進行估值,執行價為155美元,有效期為一年。
根據看漲期權的基本定義,除非股票價格達到執行價水平,否則回報率為零。在這一水平之後,收益呈線性增長(即,標的資產增加1美元,看漲期權將產生1美元的收益)。
假設買賣雙方就公允價值(包括零價格)達成一致,則該看漲期權的理論公允價格為:
這代表了期權的內在價值,從看漲期權買家的角度來看,這是完美的。在紅**域,買方和賣方都有一個公平的估價(賣方零價格,買方零回報)。然而,估值挑戰始於藍**域,因為買方具有正收益的優勢,而賣方則遭受損失(前提是基礎價格高於執行價格)。這就是買方比零價格賣方有優勢的地方。定價必須為非零,以補償賣方承擔的風險。
在前一種情況下(紅色圖表),理論上,賣方收到的價格為零,買方的潛在回報為零(對雙方都公平)。在後一種情況下(藍色圖表),標的與**之間的差額由賣方支付給買方。賣方的風險跨越一整年。例如,基礎股票價格可能會非常高(比如說四個月後達到200美元),賣方需要向買方支付45美元的差價。
因此,可以歸結為:
這表明賣方承擔了很大的風險,這就引出了一個問題:如果他們所承擔的風險得不到任何回報,為什麼有人會賣出這樣一個看漲期權?
我們的目標是得出一個單一的價格,賣方應向買方收費,這可以補償他在一年的時間內在零付款區(紅色)和線性付款區(藍色)承擔的總體風險。價格應該公平合理,買賣雙方都能接受。否則,在支付或接受不公平價格方面處於不利地位的人將不參與市場,從而破壞交易業務的目的。Black-Scholes模型的目的是透過考慮股票價格的不變變化、貨幣的時間價值、期權的行權價格和期權的到期時間來建立這種公平價格。與BS模型類似,讓我們看看如何使用我們自己的方法對示例進行評估。
有幾種方法可用於預測給定時間範圍內未來的預期價格變動:
可以對歷史資料進行類似的分析和觀察。為了繼續我們的定價模型開發,讓我們假設這個簡單的方法來衡量未來的價格變化。
假設IBM每年增長10%(基於過去20年的歷史資料)。基本統計資料表明,假設歷史模式重覆,IBM股價在+10%左右變動的概率將遠遠高於IBM股價上漲20%或下跌30%的概率。透過收集具有概率值的類似歷史資料點,一年內IBM股價的整體預期收益率可以計算為概率和相關收益的加權平均值。例如,假設IBM的歷史價格資料表示以下移動:
因此,加權平均值(或期望值)為:
(-10%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5% – 15%*5%)/100% = 6.5%
也就是說,平均而言,IBM股票的價格預計在一年內每1美元的回報率將達到+6.5%。如果有人以155美元的買入價買入一年期的IBM股票,預期凈回報率為155*6.5%=10.075美元。
不過,這是為了股票回報。我們需要為看漲期權尋找類似的預期回報。
基於低於執行價(現有155美元ATM)的買入零收益,所有的負向移動將產生零收益,而高於執行價的所有正向移動將產生相等的收益。因此,買入期權的預期回報為:
(-0%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5%—0%*5%)/100% = 9.75%
也就是說,每投資100美元購買這一期權,人們可以預期9.75美元(基於上述假設)。
然而,這仍然侷限於對期權內在價值的公允估值,並不能正確地反映期權賣方對中期可能出現的高波動所承擔的風險(在上述年內高和低價格的情況下)。除了內在價值,買方和賣方可以商定什麼價格,以便賣方在一年時間內承擔的風險得到公平補償?
這些波動可能有很大的不同,賣方可能有自己的解釋,他希望得到多少補償。布萊克-斯科爾斯模型假設歐式期權,即在到期日之前沒有行權。因此,它不受中間價格波動的影響,其估值基於端到端交易日。
在實際交易中,這種波動性對決定期權價格起著重要作用。我們通常看到的藍色支付函式實際上是到期日的支付。實際上,期權價格(粉色圖)總是高於收益(藍色圖),表明賣方為補償其冒險能力而採取的價格。這就是為什麼期權價格也被稱為期權“溢價”——本質上是指風險溢價。
這可以包含在我們的估值模型中,這取決於股票價格的預期波動性和預期收益率。
布萊克-斯科爾斯模型有效地做到了這一點(當然,在它自己的假設範圍內),如下所示:
C=S×N(d1)−十×e−rTN(d2)\begin{aligned}&\text{C}=\text{S}\times\text{N}(\text{d}u 1)-\text{X}\times e^{-rT}\text{N}(\text{d}u 2)\\ end{aligned}C=S×N(d1))−十×e−rTN(d2))
BS模型假設股票價格變動服從對數正態分佈,這證明瞭N(d1)和N(d2)的使用是合理的。
如果該期權的資金允許買方行使該期權,他將獲得一股基礎IBM股票。如果交易者今天行使期權,則S*N(d1)代表期權的當前預期價值。
在第二部分中,X表示執行價。
由於Black-Scholes模型假設歐式期權只有在最後才有可能行權,因此上述X*N(d2)表示的預期值應按貨幣的時間價值折現。因此,最後一部分乘以指數項,在一段時間內提高利率。
兩項的凈差額表示期權截至今天的價格價值(其中第二項是貼現的)
在我們的框架內,可以透過多種方式更準確地包含此類價格變動:
因此,我們可以看到,定量分析所選擇的假設、方法和定製沒有限制。根據要交易的資產或要考慮的投資,可以建立一個自行開發的模型。值得註意的是,不同資產類別的價格波動率變化很大股票有波動率偏差,外匯有波動率皺眉,使用者應在其模型中納入適用的波動率模式。假設和缺點是任何模型不可分割的一部分,在真實世界的交易場景中應用模型可以得到更好的結果。
隨著複雜資產進入市場,甚至普通資產進入複雜的交易形式,定量建模和分析成為評估的必要條件。不幸的是,沒有一個數學模型是沒有缺點和假設的。最好的方法是將假設保持在最低限度,並意識到隱含的缺點,這有助於在模型的使用和適用性上劃清界限。
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