第1部分第1部分（共3部分）：使用收益函数

1. 1了解价格和需求之间的关系。经济学研究表明，对于大多数传统企业来说，随着对任何商品需求的增加，该商品的价格都应该下降。相反，随着价格下降，需求应该增加。利用实际销售数据，公司可以确定供需图。这些数据可以用来计算价格函数。有关绘制供需数据的更多信息，请参见查找和分析需求函数曲线。

2. 2.创建价格函数。价格函数由两条主要信息组成。首先是拦截。如果不出售任何商品，这是理论价格。第二个细节是逐渐减小的坡度。图表的斜率表示每种商品的价格下降。示例价格函数可能如下所示：p=500−150q{\displaystyle p=500-{\frac{1}{50}q}p=priceq=demand，单位数此函数将“零价格”设置为500美元。每售出一台，价格就会下降1/50美元（2美分）。

3. 3确定收入函数。收入是价格乘以售出数量的乘积。由于价格函数包括单位数量，这将导致平方变量。使用上面的价格函数，收益函数变成：R（q）=p∗q{\displaystyler（q）=p*q}R（q）=[500−150q]∗q{\displaystyler（q）=[500-{\frac{1}{50}}}q]*q}R（q）=500q−150q2{\displaystyle R（q）=500q-{\frac{1}{50}}q^{2}

第2部分第2部分（共3部分）：寻找最大收入价值

1. 1找到收益函数的一阶导数。在微积分中，任何函数的导数都用来求该函数的变化率。当导数等于零时，给定函数的最大值出现。为了使收益最大化，求收益函数的一阶导数。假设销售单位数量的收入函数为R（q）=500q−150q2{\displaystyle R（q）=500q-{\frac{1}{50}}q^{2}。因此，一阶导数为：R′（q）=500−250q{\displaystyle R^{\prime}（q）=500-{\frac{2}{50}}q}有关导数的综述，请参阅wikiHow关于如何获取导数的文章。

2. 2将导数设为0。当导数为零时，原始函数的图形处于峰值或低谷。这将是最大值或最小值。对于一些更高级别的函数，零导数可能有多个解，但没有基本的价格需求函数。R′（q）=500−250q{\displaystyle R^{\prime}（q）=500-{\frac{2}{50}}q}0=500−250q{\displaystyle 0=500-{\frac{2}{50}q}

3. 3求解值为0的项数。使用基本代数求解要销售的商品数量的导数，其中导数等于零。这将为您提供使收入最大化的项目数量。0=500−250q{\displaystyle 0=500-{\frac{2}{50}q}250q=500{\displaystyle{\frac{2}{50}q=500}150q=250{\displaystyle{\frac{1}{50}}q=250}q=50∗250{\displaystyle q=50*250}q=12500{\displaystyle q=12500}

4. 4.计算出最高价格。使用衍生计算中的最佳销售数量，可以将该值输入原始价格公式，以找到最佳价格。p=500−150q{\displaystyle p=500-{\frac{1}{50}q}p=500−15012500{\displaystyle p=500-{\frac{1}{50}}12500}p=500−250{\displaystyle p=500-250}p=250{\displaystyle p=250}

5. 5综合计算结果以计算最大收入。找到最佳销售数量和最佳价格后，将它们相乘以获得最大收入。还记得R=p吗∗q{\displaystyler=p*q}。因此，本例的最大收入为：R=p∗q{\displaystyle R=p*q}R=（250）（12500）{\displaystyle R=（250）（12500）}R=3125000{\displaystyle R=3125000}

6. 6总结结果。根据这些计算，以每套250美元的最优价格，出售的最佳单元数为12500套。对于这个示例问题，这将产生最大收入312.5万美元。

第3部分第3部分，共3部分：解决另一个示例问题

1. 1从价格函数开始。假设另一家公司收集了价格和销售数据。根据这些数据，该公司已确定初始价格为100美元，每增加一套售价将降低1美分。使用该数据，以下价格函数为：p=100−0.01q{\displaystyle p=100-0.01q}

2. 2确定收入函数。回想一下，收入等于价格乘以数量。使用函数[q:R]表示收入−0.01q]∗q{\displaystyle R（q）=[100-0.01q]*q}R（q）=100q−0.01q2{\displaystyler（q）=100q-0.01q^{2}

3. 3求收益函数的导数。使用基本微积分，求收益函数的导数：R（q）=100q−0.01q2{\displaystyler（q）=100q-0.01q^{2}}R′（q）=100−（2） 0.01q{\displaystyler^{\prime}（q）=100-（2）0.01q}R′（q）=100−0.02q{\displaystyle R^{\prime}（q）=100-0.02q}

4. 4找到最大值。将导数设置为零，并求解q{\displaystyle q}，以找到最佳销售数量。该计算如下：R′（q）=100−0.02q{\displaystyler^{\prime}（q）=100-0.02q}0=100−0.02q{\displaystyle 0=100-0.02q}0.02q=100{\displaystyle 0.02q=100}q=100/0.02{\displaystyle q=100/0.02}q=5000{\displaystyle q=5000}

5. 5计算最佳价格。使用原始价格公式中的最佳销售值来查找最佳销售价格。对于本例，其工作原理如下：p=100−0.01q{\displaystyle p=100-0.01q}p=100−0.01（5000）{\displaystyle p=100-0.01（5000）}p=100−50{\displaystyle p=100-50}p=50{\displaystyle p=50}

6. 6将最大销售额和最优价格结合起来，以获得最大收入。使用收入等于价格乘以数量的关系，可以找到最大收入，如下所示：R（q）=p∗q{\displaystyle R（q）=p*q}R（q）=50∗5000{\displaystyle R（q）=50*5000}R（q）=250000{\displaystyle R（q）=250000}

7. 7解释结果。使用该数据并基于价格函数p=100−0.01q{\displaystyle p=100-0.01q}，该公司的最大收入为25万美元。假设单价为50美元，销售5000套。