第1部分第1部分，共3部分：基础

1. 1将函数替换为拉普拉斯变换的定义。从概念上讲，计算函数的拉普拉斯变换非常容易。我们将使用示例函数f（t）=eat{\displaystyle f（t）=e^{at}，其中{\displaystyle a}是一个（复数）常数，因此⁡（s） &lt；重新⁡（a） 。{\displaystyle\operatorname{Re}（s）&lt；\运算符名称{Re}（a）。}L{eat}=∫0∞吃−stdt{\displaystyle{\mathcal{L}}{e ^{at}}=\int{0}{\infty}e ^{at}e ^{-st}\mathrm{d}t}
2. 2使用任何可能的方法计算积分。在我们的例子中，我们的计算非常简单，我们只需要使用微积分的基本定理。在其他更复杂的情况下，可以使用部件集成或积分下的微分等技术。我们的约束是⁡（s） &lt；重新⁡（a） {\displaystyle\operatorname{Re}&lt；\operatorname{Re}（a）}意味着被积函数收敛，即当t为0时→∞.{\displaystyle t\to\infty.}L{eat}=∫0∞e（a）−s） tdt=e（a−s） 助教−s | 0∞=1s−a{\displaystyle{\begin{aligned}{\mathcal{L}}{e ^{at}}amp=\{m}={\frac{e ^{（a-s）t}{a-s}}{\Bigg}{0}^{\infty}amp={\frac{1}{s-a}}\end{aligned}}}注意，如果我们通过Euler公式考虑相关函数eiat{\displaystyle e ^{iat}}}，这为我们提供了两个“free”的拉普拉斯变换：正弦和余弦函数。那么在分母中，我们将有s−ia，{\displaystyle s-ia，}剩下的就是取这个结果的实部和虚部。我们也可以直接评估，但这需要更多的工作。L{cos⁡at}=Re⁡（1s）−ia）=ss2+a2{\displaystyle{\mathcal{L}}{\cos at\}=\operatorname{Re}\left（{\frac{1}{s-ia}}\right）={\frac{s}{s^{2}+a^{2}}}}L{sin⁡at}=Im⁡（1s）−ia）=as2+a2{\displaystyle{\mathcal{L}}{\sin at}=\operatorname{Im}\left（{\frac{1}{s-ia}}\right）={\frac{a}{s^{2}+a^{2}}
3. 3评估幂函数的拉普拉斯变换。在继续之前，我们必须确定幂函数的变换，因为线性特性允许我们确定所有多项式的变换。幂函数是函数tn，{\displaystyle t^{n}，其中n{\displaystyle n}是任何正整数。我们可以使用分部积分来确定递归规则。L{tn}=∫0∞特恩−stdt=nsL{tn−1} {\displaystyle{\mathcal{L}}{t^{n}}}=\int{0}{\infty}t^{n}e^{-st}\mathrm{d}t={\frac{n}{s}{\mathcal{L}}{t^{n-1}我们的结果不是写出来的，但通过显式替换n的几个值，我们可以从下面的模式中确定结果。L{tn}=n！sn+1{\displaystyle{\mathcal{L}}}{t ^{n}}={\frac{n！}{s^{n+1}}}我们也可以使用伽马函数确定分数次幂的拉普拉斯变换。这允许我们找到函数的变换，如f（t）=t。{\displaystyle f（t）={\sqrt{t}}}。}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}sqrt{\pi}{2s{\sqrt{s}}}尽管具有分数次幂的函数必须包含分支割（回想一下，对于任何复数z{\displaystyle z}和α，{\displaystyle\alpha，}，我们重写了zα{\displaystyle z^{\alpha}}作为eαLog⁡z{\displaystyle e ^{\alpha\operatorname{Log}z}），我们总是可以定义它们，使分支切割位于左半平面，以避免分析性问题。