线性方程与二次方程
在数学中,代数方程是用多项式形成的方程。当显式地写出来时,方程的形式是P(x)=0,其中x是n个未知变量的向量,P是多项式。例如,P(x,y)=x4+y3+x2y+5=0是两个变量的显式代数方程。另外,(x+y)3=3x2y-3zy4是一个代数方程,但是隐式的。它的格式是Q(x,y,z)=x3+y3+3xy2+3zy4=0,一旦显式地写出来。
代数方程的一个重要特征是它的度。它被定义为方程中出现的项的最高次方。如果一项由两个或两个以上的变量组成,则每个变量的指数之和将被视为该项的幂次。观察到,根据这个定义,P(x,y)=0是4次,而Q(x,y,z)=0是5次。
线性方程和二次方程是两种不同类型的代数方程。方程的阶数是它们与其他代数方程区别的因素。
什么是线性方程?
线性方程是1次代数方程。例如,4x+5=0是一个变量的线性方程。x+y+5z=0和4x=3w+5y+7z分别是3和4个变量的线性方程组。一般来说,n个变量的线性方程将采用M1x1+M2x2+…+MN-1xN-1 +Mnxn= B。这里,席是未知变量,MI和B是实数,其中每个MI都是非零。
这样的方程表示n维欧几里德空间中的一个超平面。特别是,二元线性方程表示笛卡尔平面上的直线,三元线性方程表示欧几里德3空间上的平面。
什么是二次方程?
二次方程是二次代数方程。x2+3x+2=0是一个单变量二次方程。x2+y2+3x=4和4x2+y2+2z2+x+y+z=4分别是2和3变量二次方程的例子。
在单变量情况下,二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0。其中a,b,c是实数,其中a非零。判别式∆=(b2–4ac)决定了二次方程根的性质。根据∆为正、零和负,方程的根将是实相异、实相似和复的。使用公式x=(-b±√∆)/2a可以很容易地找到方程的根。
在双变量情况下,一般形式为ax2+by2+cxy+dx+ex+f=0,这表示笛卡尔平面上的圆锥曲线(抛物线、双曲线或椭圆)。在更高维中,这类方程表示称为二次曲面的超曲面。
线性方程和二次方程的区别是什么?•线性方程是1次代数方程,而二次方程是2次代数方程。•在n维欧氏空间中,n变量线性方程的解空间是超平面,而n变量二次方程的解空间是二次曲面。 |