正交与正交
在数学中,正交和正交这两个词经常和一组向量一起使用。在这里,“向量”一词的意思是它是向量空间的一个元素——线性代数中使用的一种代数结构。在我们的讨论中,我们将考虑内积空间-向量空间V以及定义在V上的内积[]。
例如,对于内积,空间是所有三维位置向量和通常的点积的集合。
什么是正交的?
内积空间V的非空子集S称为正交的,当且仅当S中每个不同的u,V,[u,V]=0;即u和V的内积等于内积空间中的零标量。
例如,在所有三维位置向量的集合中,这相当于说,对于S中的每一对不同的位置向量p和q,p和q彼此垂直。(记住这个向量空间的内积是点积。另外,当且仅当两个向量相互垂直时,两个向量的点积等于0。)
考虑集合S={(0,2,0),(4,0,0),(0,0,5)},它是三维位置向量的子集。观察(0,2,0)。(4,0,0)=0,(4,0,0)。(0,0,5)=0&;(0,2,0)。(0,0,5)=0。因此,集合S是正交的。特别地,如果两个向量的内积为0,则称两个向量是正交的。因此,每对向量在Sis中是正交的。
什么是正交法?
内积空间V的非空子集S称为正交的当且仅当S正交且对于S中的每个向量u,[u,u]=1。因此,可以看出每个正交集都是正交的,但不是正交的。
例如,在所有三维位置向量的集合中,这相当于说,对于S中的每一对不同的位置向量p和q,p和q彼此垂直,并且对于S中的每个p,| p |=1。这是因为条件[p,p]=1减少为p.p=| p | p | cos0=|p | 2=1,相当于| p |=1。因此,给定一个正交集,我们总是可以通过将每个向量除以其大小来形成相应的正交集。
T={(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)}是所有三维位置向量集的正交子集。很容易看出,它是通过将集合S中的每个向量除以它们的大小得到的。
- 内积空间V的非空子集S称为正交的,当且仅当S中每个不同的u,V,[u,V]=0。然而,它是正交的,当且仅当满足一个附加条件-对于S中的每个向量u,[u,u]=1。
- 任何正交集都是正交的,但反之亦然。
- 任何正交集都对应于一个唯一的正交集,但正交集可以对应多个正交集。