組合せ・交換
私たちは日常生活の中で、何かを測るときには必ず数字を使います。スーパーやガソリンスタンド、あるいはキッチンで、2つ以上の量を足したり、引いたり、掛けたりする必要があります。練習を重ねることで、これらの計算を難なくこなせるようになりました。私たちは、なぜこのような操作をしなければならないのか、全く気づきませんし、疑問も持ちません。あるいは、なぜこのような計算が別の方法でできないのか。その答えは、代数数学の分野でのこれらの演算の定義の仕方に隠されている。
代数学では、2つの量を含む演算（例えば足し算）は2項演算と定義される。より正確には、「オペランド」と呼ばれる集合の2つの要素の間の演算である。先に述べた算術演算をはじめ、集合論、線形代数、数理論理など、数学の多くの演算は二項演算として定義することが可能である。
特定の二項演算に関連する一連の制御規則があり、二項演算の基本的な性質として、和集合の性質と交換の性質がある。
交流のあり方についての詳細
記号⊖で表されるある二項演算が、要素A、Bに対して行われたとする。オペランドの順序が演算結果に影響しない場合、演算は交換可能であるという。 i. A ⊗ B = B ⊗ A ならば、演算は交換可能である。
足し算と掛け算の演算は互換性があり、足し算や掛け算の順序は最終的な答えに影響しない。
a+b=b+a⇒4+5=5+4=9となります。
A×B＝B×A⇒4×5＝5×4＝20となります。
しかし、除算の変化の場合、順序は他の逆数であり、減算の場合、変化は他の負数である。したがって
A-B≠B-A⇒4-5＝-1、5-4＝1
A÷B≠B÷A⇒ 4÷5＝0.8 かつ 5÷4＝1.25 【この場合、B≠1かつ0】となる。
実は、引き算は反交換であると考えられており、A-B＝-(B-A)となる。
さらに、論理的接続語、接続詞、言い換え、暗示、等価物も交換可能である。真理値関数も互換性がある。セット操作のマージとインターセクションは互換性がある。また、ベクトルの加算とスカラー積は互換性がある。
しかし、ベクトルの引き算とベクトルの積は交換可能ではない（2つのベクトルのベクトル積は反交換可能である）。行列の加算は交換可能だが、乗算と減算は交換不可能である。(特別な場合，行列とその逆行列や単位行列の掛け算のように，2つの行列の掛け算が交換可能なこともありますが，行列のサイズが同じでない場合，行列は間違いなく交換可能ではありません)
関連機能の詳細については
2つ以上の演算子が発生する場合、実行順序が結果に影響しない二項演算は連想演算と言われます。要素A,B,Cと二項演算⊖を考える。もし
a⊗b⊗c = a⊗(b⊗c) = (a⊗b)⊗c
基本的な演算機能でいえば、足し算と掛け算だけが連動しています。
a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c⇒4＋（5＋3）＝（5＋4）＋3＝12
A×（B×C）＝（A×B）×C⇒ 4×（5×3）＝（5×4）×3＝60
引き算と割り算は相関がない。
A - (B - C) ≠ (A - B) - C⇒ 4 - (5 - 3) = 2、(5 - 4) - 3 = -2
A÷（B÷C）≠（A÷B）÷C⇒4÷（5÷3）＝2.4、（5÷4）÷3＝0.2666となる。
論理接続詞はparse, combine, equateが組み合わされ、集合演算はmergeとintersectが組み合わされる。行列とベクトルの加算は接続可能である。ベクトルのスカラー積は連想的ですが、ベクトル積は連想的ではありません。行列の乗算は、特殊な場合にのみ、連想性を持ちます。
交換性と結合性の違いは何ですか？
-和集合の性質と交換の性質は、二項演算の特殊な性質で、そのうちのいくつかは満たされ、いくつかは満たされない。
-これらの性質は、数学における代数演算やその他の二項演算、例えば集合論における交差や和集合、論理接続子などの多くの形で見ることができる。
