结合与交换

在我们的日常生活中，每当我们需要衡量某件事时，我们都必须使用数字。在杂货店，在加油站，甚至在厨房里，我们需要加、减、乘两个或更多个量。从我们的实践来看，我们可以毫不费力地进行这些计算。我们从未注意到或质疑我们为什么要以这种特殊的方式进行这些操作。或者为什么这些计算不能用不同的方式来完成。答案隐藏在代数数学领域中定义这些运算的方式中。

在代数中，涉及两个量（如加法）的运算被定义为二进制运算。更确切地说，它是一个集合中两个元素之间的运算，这些元素被称为“操作数”。数学中的许多运算，包括前面提到的算术运算和集合论、线性代数和数理逻辑中遇到的运算都可以定义为二进制运算。

有一组与特定二进制操作相关的控制规则。结合性质和交换性质是二元运算的两个基本性质。

关于交换性质的更多信息

假设对元素A和B执行符号⊗表示的某个二进制运算。如果操作数的顺序不影响运算结果，则称该运算是可交换的。i、 如果A⊗B=B⊗A，则运算是可交换的。

算术运算加法和乘法是可交换的。数字相加或相乘的顺序不影响最终答案：

A+B=B+A⇒4+5=5+4=9

A×B=B×A⇒4×5=5×4=20

但在除法变化的情况下，顺序是另一个的倒数，而在减法中，变化是另一个的负数。因此，

A–B≠B–A⇒4–5=-1和5–4=1

A÷B≠B÷A⇒4÷5=0.8和5÷4=1.25[在这种情况下，B≠1和0]

事实上，减法被认为是反交换的；其中A–B=–（B–A）。

而且，逻辑连接词，连接词，析取词，蕴涵词和等价词，也是交换的。真值函数也是可交换的。集合运算的并与交是交换的。向量的加法和标量积也是交换的。

但是向量减法和向量积不是交换的（两个向量的向量积是反交换的）。矩阵加法是可交换的，但乘法和减法不是交换的。（在特殊情况下，两个矩阵的乘法可以是交换的，例如一个矩阵与其逆矩阵或单位矩阵的相乘；但是如果矩阵的大小不一样，矩阵肯定是不可交换的）

有关关联特性的详细信息

当出现两次或两次以上的运算符时，如果执行顺序不影响结果，则称二进制操作是关联的。考虑元素A、B和C以及二进制运算⊗。如果

A⊗B⊗C=A⊗（B⊗C）=（A⊗B）⊗C

从基本的算术函数来看，只有加法和乘法是相联的。

A+（B+C）=（A+B）+C⇒4+（5+3）=（5+4）+3=12

A×（B×C）=（A×B）×C⇒4×（5×3）=（5×4）×3=60

减法和除法没有关联性；

A–（B–C）≠（A–B）–C⇒4–（5–3）=2和（5–4）–3=-2

A÷（B÷C）≠（A÷B）÷C⇒4÷（5÷3）=2.4和（5÷4）÷3=0.2666

逻辑连接词析取、合取和等价是结合的，集合运算是并集和交集。矩阵和向量加法是相联的。向量的标量积是相联的，但向量积不是。矩阵乘法只有在特殊情况下才是相联的。

交换性和结合性的区别是什么？

•结合性质和交换性质都是二进制运算的特殊性质，有些满足，有些不满足。

•这些性质可以在许多形式的代数运算和数学中的其他二元运算中看到，例如集合论中的交与并或逻辑连接词。