分散と共分散

分散と共分散は、統計学で用いられる2つの尺度である。分散はデータの分散を表す指標であり、共分散は2つの確率変数のばらつきの度合いを示す。分散はかなり直感的な概念ですが、共分散の定義は数学的にそれほど直感的ではありません。

バリアンスに関する詳細情報

分散は、分布の平均からのデータの分散を示す指標である。データポイントが分布の平均からどの程度離れているかを示しています。確率分布の主要な記述子の一つであり、分布のモーメントの一つである。また、分散は全体のパラメータであり、サンプルの分散は全体の分散の推定値として機能する。ある観点からは、標準偏差の二乗と定義される。

平たく言えば、各データ点と分布の平均値との距離の二乗平均と言えます。分散の計算には、以下の式を用います。

集合体については Var(X) = E[(X-µ)2] とする。

Var(X) = E[(X - ‾X)2] サンプルに対して

これをさらに簡略化すると、Var(X) = E[X2] - (E[X])2 となる。

分散はいくつかの特徴的な性質を持っており、通常、統計学では使用方法を単純化するために使用されます。分散は距離の2乗であるため、非負である。しかし、分散の範囲は制限されず、特定の分布に依存する。定数型確率変数は分散がゼロであり、分散は位置パラメータに依存しない。

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統計理論では、共分散は2つの確率変数の変動を一緒に表す尺度である。つまり、共分散とは、2つの確率変数の相関の強さを表す指標である。また、2つの確率変数の分散の概念を一般化したものと見ることもできる。

2つの確率変数XとYの共分散は、σXY = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]として知られています。したがって、分散は、2つの変数が同一である共分散の特殊なケースとして見ることができる。 cov(X, X) = variable (X)

線形相関係数またはピアソン相関係数は共分散を正規化することで得られ、ρ = E[(X-E[X])(Y-E[Y])/(σXσY) = (Cov(X, Y))/(σXσY) で定義されます。

図式的には、一組のデータ点間の共分散は、対向する頂点に位置するデータ点の矩形領域として見ることができる。2つのデータ点間の分離の度合いを示す指標として解釈できる。母集団全体の長方形を考えると、すべてのデータ点に対応する長方形の重なりは、分離の強さ、つまり2つの変数の分散と考えることができる。共分散は変数が2つあるので2次元ですが、これを1つの変数に還元することで、1つの変数の分散を1次元の分離として扱えるようになります。

分散と共分散の違いは何ですか？

-分散は総体としての拡散・分散を表す指標であり、共分散は2つの確率変数の間のばらつきや相関の強さを表す指標とされています。

-分散は共分散の特別なケースとして見ることができる。