微分と積分

微分と積分は、微積分の基本的な操作である。数学、工学、物理学などの分野で幅広く応用されている。微分も積分も、関心のある関数や物理的実体の振る舞いを論じるものである。

デリバティブとは何ですか？

y = ƒ(x) で、x0 が ƒ の領域内にあるとする。このとき、limΔx→∞Δy/Δx = limΔx→∞[ƒ(x0+Δx) - ƒ(x0)]/Δx は、極限が有限であれば、x0における瞬時変化率ということになる。この極限はatの微分とも呼ばれ、ƒ(x)と表記される。

関数の領域内の任意の点xにおける関数fの微分の値は、limΔx→∞［ƒ（x＋Δx）-ƒ（x）］／Δxで与えられる。これは、y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxyのいずれかの式で表される。

多変数の関数については、偏微分を定義する。2つ以上の変数を含む関数の偏導関数は、他の変数を定数と仮定して、その変数の1つに関する導関数です。偏微分の符号は∂です。

幾何学的に言えば、関数の微分は関数 ƒ(x) の曲線の傾きと解釈することができる。

ポイントとは何ですか？

積分または逆微分とは、微分の逆過程のことです。つまり、関数の微分が与えられたときに、元の関数を求める作業である。したがって、関数 ƒ(x)=F(x) の場合の積分または逆微分は、 ƒ(x) の領域内のすべての x に対する関数 F(x) として定義することができる。

式 ∫ƒ(x)dx は関数 ƒ(x) の微分を表す。ƒ（x）＝F（x）とすると、∫ƒ（x）dx＝F（x）＋C（Cは定数）となり、∫ƒ（x）dxはƒ（x）の不定積分と呼ばれます。

区間[a,b]で定義された関数ƒが必ずしも非負でない場合、a∫bƒ(x)dxは[a,b]上の定積分ƒと呼ばれます。

関数 ƒ(x) a∫bƒ(x)dx の定積分は、曲線 ƒ(x) と x 軸と x = a と x = b で囲まれた領域の面積として幾何学的に解釈することができる。