演習問題

割合の計算の練習問題

計算比率の練習問題の解答

全3回中1回目：プロポーションを理解する Part 1

1. 1 比率の使い方を理解することが重要です。比率は、複数の量を比較したり、量と量の関係を比較したりするために、学問の場でも実社会でも使われます。最も単純な比率は2つの値だけを比較するものであるが、3つ以上の値を比較する比率も可能である。比率は、2つ以上の異なる数値や量を比較するあらゆる場面で適用される。量の関係を説明することで、化学式をコピーしたり、キッチンでレシピを拡張する方法を説明します。理解した後は、一生、比率を使い続けることになるのです。

2. 2 比率の意味を理解する。前述したように、比率は少なくとも2つの項目の量的な関係を示すものである。例えば、ケーキに小麦粉2カップと砂糖1カップが入っている場合、小麦粉と砂糖の比率は2対1となります。比率は、ある量が他の量と直接関係しない場合（レシピなど）でも、任意の量の関係を示すために使用できます。例えば、あるクラスに女子5人と男子10人がいる場合、女子と男子の比率は5対10です。どちらの量も他方に依存したり関連したりせず、誰かが去ったり新しい生徒が入ったりするとどちらの量も変化します。比率は、単純に2つの量を比較したものです。

3. 3 比の表現方法の違いに注意すること。比率は、言葉で書き出したり、数学記号で表現したりすることができます。通常、比率は言葉で表現されることが多い（上記の通り）。比率は非常によく使われ、さまざまな方法で使用されるため、数学や科学の分野以外で働くことになった場合、おそらく最もよく目にする比率の形式でしょう。2つの数字を比率で比較する場合は、コロンを使う（例：7：13）。2つ以上の数字を比較する場合は、それぞれの数字の間にコロンを連続して入れる（例：10：2：23）。教室の例では、女子5：男子10という比率で、男子の人数と女子の人数を比較することがあります。この比率は単純に5：10と表現できます。 比率は分数表記で表現することもあります。つまり、分数と同じように読み上げてはいけないし、これらの数字は全体の一部を表しているわけではないことを忘れてはいけないのです。

第2回/第3回：比率の2分の1の使い方

1. 1 比を最も単純な形に縮小する。比率は、分数と同じように、比率の項の共通因子を取り除くことで縮小・簡略化することができます。比を小さくするには、比のすべての項を共通因数で割って、共通因数が無くなるまで小さくする。ただし、その際には、そもそも比率を決めた元の数量を見失わないようにすることが重要です。上記の教室の例では、女子5人男子10人（5：10）の場合、両辺の係数は5であり、両辺を5で割ると女子1人男子2人（または1：2）となる（最大公約数的な）。しかし、この縮小された比率を使う場合でも、元の数字を念頭に置く必要があります。このクラスの生徒の総数は3人ではなく、15人です。縮小比率は、単純に男子と女子の人数の関係を比較したものです。女の子1人につき男の子2人で、正確には男の子2人、女の子1人ではありません。例えば、3：56は、3は素数であり、56は3で割り切れないという共通項がないため、減らすことはできない。

2. 2 乗法や除法を用いて、比率を「はかる」ことができる。比を使った問題でよくあるのは、2つの数を比例して上下させる比を使った問題でしょう。比率のすべての項に同じ数値を掛けるか割ると、元の比率と同じになるので、比率を大きくするには、比率に倍率を掛けたり割ったりします。例えば、パン屋さんがケーキのレシピを3倍にする必要があるとします。小麦粉と砂糖の比率が通常2対1（2：1）だとすると、どちらの数値も3倍にしなければならない。これでレシピの適量は、小麦粉6カップに対して砂糖3カップ（6：3）。同じプロセスは、逆も可能です。通常のレシピの半分で良い場合は、両方の分量を1/2倍（または2倍）にしてください。その結果、小麦粉1カップに対して砂糖1/2（0.5）カップとなる。

3. 3 2つの等しい比が与えられたとき、未知の変数を求めよ。比を含むもう一つのよくあるタイプの問題は、ある比に含まれる別の数と、最初の比と等しい2番目の比が与えられたときに、その比の未知の変数を求めるというものです。掛け算の原理を利用すれば、これらの問題を解くのはかなり簡単だ。それぞれの比率を10進数で書き、2つの比率を等しくして掛け合わせたものを解きます。例えば、男子2名、女子5名の少人数制の生徒がいたとします。もし、この男女比を維持するとしたら、女子20人のクラスに男子は何人いることになるでしょうか？この問題を解くには、まず、未知の変数に対して、2人の男子：5人の女子＝×男子：20人の女子の2つの比を作ってみましょう。これらの比を分数形に変換すると、2/5とx/20となります。掛け算をすると5x=40となり、この2つの数字を5で割ると解けます。最終的にx=8となります。 専門家のアドバイス Grace Imerson（シティカレッジオブサンフランシスコ数学講師 Grace Imersonは40年以上の指導経験を持つ数学教師です。グレースは現在、サンフランシスコ・シティカレッジで数学の講師を務めており、以前はセントルイス大学の数学科に勤務していた。小学校、中学校、高校、大学の各レベルで数学を教えてきた。グレース・イムソン（MA） シティ・カレッジ・オブ・サンフランシスコ数学講師 項の順番を見て、言葉の問題で分子と分母を計算する。最初の単語は通常分子で、2番目の単語は通常分母である。例えば、ある物の長さと幅の比を計算する問題であれば、長さが分子、幅が分母となる。

Part3 第3回：ミスのキャッチボール

1. 1 比の問題では、足し算や引き算を避ける。多くの語句の問題は、このようなものです。"あるレシピでは、ジャガイモ4個、ニンジン5本と書かれています。代わりにジャガイモを8個使う場合、比率を同じにするにはニンジンは何本必要ですか？"多くの学生は、それぞれの数量を足し合わせて同じになるようにしようとします。実際には、比率を同じにするために足し算ではなく、掛け算を使う必要があるのです。この例題の間違った解き方と正しい解き方を紹介します。"間違った解き方"8-4＝4なので、ジャガイモを4個追加しました。ということは、5本のニンジンのうち4本も追加すればよかったのですが...。ちょっと待てよ！ちょっと待てよ！プロポーションはそんなもんじゃない。もう一度やってみる"正しい方法"8÷4＝2なので、ジャガイモの数を2倍した、つまり5本のニンジンも2倍すればいい。 5×2＝10なので、新しいレシピのニンジンは合計10本欲しい。"

2. 2 同じ単位に変換する。単語問題の中には、途中で違う単位に切り替えると厄介なことになるものもあります。同じ単位に変換してから比率を求めます。あるドラゴンが500グラムの金と10キロの銀を持っている、という問題と解答の例です。ドラゴンの財宝に含まれる金と銀の比率は？グラムとキログラムは同じ単位ではないので、換算する必要があります。1キログラム＝1000グラムなので、10キログラム＝10キログラム×1000グラム 1キログラム{表示形式{1000グラム}{1キログラム}}＝10×1000グラム＝1万グラムです。このドラゴンは、金500グラム、銀1万グラムです。金と銀の比率は、金500グラム銀10000グラム＝5,100＝120{displaystyle {500グラム金}{10000グラム銀}={5}{100}={1}{20}}となります。

3. 3 問題の単位を書きなさい。比の問題では、各値の後に単位を書くと間違いに気付きやすい。分数の上と下に同じ単位があると相殺されることを忘れないようにしましょう。できる限り多くキャンセルした後、最終的に正しい単位を答えにする必要があります。例：6個の箱があり、3個目に9個のビー玉が入っているとしたら、ビー玉はいくつあるか？ 6箱∗3箱9ビー玉＝...{表示形式 6箱∗{frac{3箱}{9マーブル}=...}..待てよ、相殺するものがないから、私の答えは「箱×箱・ビー玉」だ。これでは意味がない。正しくは 6boxes∗9marbles3boxes={displaystyle 6boxes*{frac {9marbles}{3boxes}=}. 6boxes∗3marbles1box={displaystyle 6boxes*{frac {3marbles}}}.}{1box}}=}6boxes∗3marbles1box={displaystyle {frac {6boxes∗3marbles}{1box}}=}6∗3marbles1={displaystyle {frac {6∗3marbles}{1}=} マーブル18個です．Expert Tip Grace Imson, MA City College of San Francisco Math Instructor Grace Imsonは、40年以上の教育経験を持つ数学の先生です。グレースは現在、サンフランシスコのシティカレッジで数学の講師を務めており、以前はセントルイス大学の数学科に勤務していました。小学校、中学校、高校、大学の各レベルで数学を教えてきた。セントルイス大学で教育学の修士号を取得し、管理・監督を専門としています。グレース・イムソン（MA） サンフランシスコ・シティカレッジ数学講師 よくある問題は、分子としてどの数字を使うか、ということです。単語問題では、通常、最初の単語が分子で、2番目の単語が分母になります。長さと幅の比率を知りたい場合は、長さが分子、幅が分母になります。