メモ用紙

ベクトル図形のフォーク積

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方法1 方法1/2：フォーク積を計算する

1. 1 デカルト座標で定義された2つの一般的な3次元ベクトルを考える a=Ai+Bj+Ckb=Di+Ej+Fk{Here, i, j, k{displaystyle, \mathbf{j}+Fmathbf{k}end{aligned}}Here, i, j, k{displaystyle, \mathbf{j}, \mathbf{k}displaystyleは単位ベクトル、A, B, C, D, E, F {displaystyle A, B, C, D, E, F}は単位ベクトル、A, B, C, D, E, Fは単位ベクトル。｝
2. 2.マトリクスを設定する。フォーク積を計算する最も簡単な方法の1つは、行列の2つのベクトルから単位ベクトルを作成することです。 a×b=|ijkABCDEF |{displaystyle}}mathbf{a}timesmathbf{b}={Begin{vmatrix}mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k} A&B&C
3. 3 行列式を計算する。以下、補因子展開（部分項による展開）を用いる。 a×b=(BF)-EC)i-(AF)-DC)j+(AE)-DB)k{displaystylemathbftimesmathbf{b}=(BF-EC)\mathbf{i}-(AF-DC)\mathbf{j}+(AE-DB)\mathbf{k} This vector is orthogonal to a{displaystyle} and b.{displaystyle}Mathbf{a}, ### ############## #1

方法2 方法2/2：例

1. 1 以下の2つのベクトルを考えます。 u=2i-j+3kv=5i+7j-4kk}\\\mathbf{v}&amp=5\mathbf{i}+7\mathbf{j}-4\mathbf{k}\end{aligned}
2. 2. Set the matrix. u×v=|ijk2-1357-4 |{\displaystyle\mathbf{u}\times\mathbf{v}={\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\2&amp-1&3\\\5&7&amp-4\end{vmatrix}}
3. 3 行列式の計算 u×v=(4)-21)i-(-8.-15) j+(14+5)k=-17i+23j+19kbegin{aligned}\mathbf{u}\times\mathbf{v}&amp=(4-21)\mathbf{i}-(-8-15)\mathbf{j}+(14+5)\mathbf{k}\\\\\&amp=-17\mathbf{i}+23\mathbf{j}+19\mathbf{k}\end{aligned}

• ベクトルとそれ自身の任意の倍数とのフォーク積は0です。これは、行列を設定するときに簡単に示すことができます。2行目と3行目は、ある行が別の行の倍数として書けるので、線形関係にある。このとき、行列の行列式とフォーク積は0となる。
• 2つのベクトルa×bのフォーク積で生成されるベクトルはa{displaystyle}, b{timesmathbf}の両方に直交することが示されるため、ドット積を計算する。これらの積は三重積と呼ばれ、外側の演算はドット積なのでスカラー三重積となります。 a.⋅(a×b)b⋅(a×b){displaystyle{begin{aligned}mathbf{a}& \cdot(\mathbf{a}timesmathbf{b})\cdot(\mathbf{a}timesmathbf{b})\end{aligned}}) これらの三重積は circular permutation と呼ばれる方法に従います--。つまり、ベクトルの順番を入れ替えずに位置を入れ替えれば、等価な式になるのです。a.⋅(b×b)b⋅(a×a){displaystyle{begin{aligned}}} {mathbf{a}& \cdot(\mathbf{b}/Timesmathbf{b})\mathbf{b}&ampただし、ベクトルとそれ自身のフォーク積は0であることが分かっているので、2つのベクトルの内積も0となり、直交することになります。