备忘单

向量图的叉积

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方法1方法1/2：计算叉积

1. 1考虑笛卡尔坐标中定义的两个通用三维向量。a=Ai+Bj+Ckb=Di+Ej+Fk{\displaystyle{\begin{aligned}\mathbf{a}&amp=A\mathbf{i}+B\mathbf{j}+C\mathbf{k}\\\mathbf{B}&amp=这里，i，j，k{\displaystyle\mathbf{i}、\mathbf{j}+F\mathbf{k}\end{aligned}}这里，i，j，k{\displaystyle\mathbf{i}、\mathbf{j}、\mathbf{k}是单位向量，A，B，C，D，E，F{\displaystyle A，B，C，D，E，F}。
2. 2.设置矩阵。计算叉积最简单的方法之一是用矩阵中的两个向量建立单位向量。a×b=|ijkABCDEF |{\displaystyle\mathbf{a}\times\mathbf{b}={\begin{vmatrix}\mathbf{i}&amp；\mathbf{j}&amp；\mathbf{k}\\A&amp；B&amp；C\\D&amp；E&amp；F\end{vmatrix}}
3. 3计算矩阵的行列式。下面，我们使用辅因子展开（通过子项展开）。a×b=（BF）−EC）我−（AF）−DC）j+（AE）−DB）k{\displaystyle\mathbf{a}\times\mathbf{b}=（BF-EC）\mathbf{i}-（AF-DC）\mathbf{j}+（AE-DB）\mathbf{k}这个向量与a{\displaystyle\mathbf{a}和b.{\displaystyle\mathbf{b}正交

方法2方法2/2：示例

1. 1考虑以下两个向量。u=2i−j+3kv=5i+7j−4k{\displaystyle{\begin{aligned}\mathbf{u}&amp=2\mathbf{i}-\mathbf{j}+3\mathbf{k}\\\mathbf{v}&amp=5\mathbf{i}+7\mathbf{j}-4\mathbf{k}\end{aligned}
2. 2.设置矩阵。u×v=|ijk2−1357−4 |{\displaystyle\mathbf{u}\times\mathbf{v}={\begin{vmatrix}\mathbf{i}&amp；\mathbf{j}&amp；\mathbf{k}\\2&amp-1&amp；3\\5&amp；7&amp-4\end{vmatrix}}
3. 3计算矩阵的行列式。u×v=（4）−21）我−(−8.−15） j+（14+5）k=−17i+23j+19k{\displaystyle{\begin{aligned}\mathbf{u}\times\mathbf{v}&amp=（4-21）\mathbf{i}-（-8-15）\mathbf{j}+（14+5）\mathbf{k}\\\&amp=-17\mathbf{i}+23\mathbf{j}+19\mathbf{k}\end{aligned}

• 向量与其自身任意倍数的叉积为0。这在设置矩阵时更容易显示。第二行和第三行是线性相关的，因为可以将一行作为另一行的倍数写入。那么，矩阵的行列式和叉积是0。
• 可以证明，由两个向量a×b{\displaystyle\mathbf{a}\times\mathbf{b}的叉积产生的向量与a{\displaystyle\mathbf{a}和b.{\displaystyle\mathbf{b}都正交为此，计算点积。这些积被称为三重积——因为外部的操作是点积，所以它们是标量三重积。A.⋅（a×b）b⋅（a×b）{\displaystyle{\begin{aligned}\mathbf{a}&amp；\cdot（\mathbf{a}\times\mathbf{b}）\\\mathbf{b}&amp；\cdot（\mathbf{a}\times\mathbf{b}）\end{aligned}}）这些三重乘积遵循一种称为循环置换的方式——也就是说，如果你交换向量的位置而不重新排序，那么表达式是等价的。然后，我们可以重写它们，使向量与自身相交。A.⋅（b×b）b⋅（a×a）{\displaystyle{\begin{aligned}\mathbf{a}&amp；\cdot（\mathbf{b}\times\mathbf{b}）\\\mathbf{b}&amp；\cdot（\mathbf{a}\times\mathbf{a}）\end{aligned}}然而，我们知道向量与自身的叉积是0。因为两个向量的点积也是0，所以它们是正交的。。