矩形与平行四边形

平行四边形和矩形是四边形。几千年来，人类就知道这些图形的几何结构。希腊数学家欧几里得在《元素》一书中明确地论述了这个问题。

平行四边形

平行四边形可以定义为有四个边的几何图形，对边相互平行。更准确地说，它是一个有两对平行边的四边形。这种平行性赋予平行四边形许多几何特征。

如果发现以下几何特征，四边形就是平行四边形。

•两对相对侧的长度相等。（AB=DC，AD=BC）

• Two pairs of opposing angles are equal in size. ( )

• If the adjacent angles are supplementary 

•相互对立的一对边平行且长度相等。（AB=DC和AB∥DC）

•对角线彼此平分（AO=OC，BO=OD）

•将对角线分成两个等边三角形。（∆ADB∠∆BCD，∆ABC∠∆ADC）

此外，边的平方和等于对角线的平方和。这有时被称为平行四边形定律，在物理和工程中有着广泛的应用。（AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2）

一旦确定四边形是一个平行四边形，上面的每一个特征都可以用作属性。

平行四边形的面积可以用一边的长度和到另一边的高度的乘积来计算。因此，平行四边形的面积可以表示为

平行四边形面积=底×高=AB×h

平行四边形的面积与单个平行四边形的形状无关。它只取决于底座的长度和垂直高度。

如果平行四边形的边可以用两个向量来表示，则面积可以由两个相邻向量的向量积（叉积）的大小来获得。

If sides AB and AD are represented by the vectors () and () respectively, the area of the parallelogram is given by , where α is the angle between and . 

以下是平行四边形的一些高级性质；

•平行四边形的面积是其对角线所形成三角形面积的两倍。

•平行四边形的面积被穿过中点的任何直线分成两半。

•任何非退化仿射变换将一个平行四边形转换为另一个平行四边形

•平行四边形具有2阶旋转对称性

•从平行四边形的任何内部点到侧面的距离总和与该点的位置无关

矩形

有四个直角的四边形称为矩形。它是平行四边形的一个特例，任意两个相邻边之间的角都是直角。

除了平行四边形的所有性质外，在考虑矩形的几何结构时，还可以识别出其他特征。

•顶点处的每个角度都是直角。

•对角线长度相等，且彼此平分。因此，等分部分的长度也是相等的。

•对角线长度可使用毕达哥拉斯定理计算：

PQ2+PS2=SQ2

•面积公式简化为长度和宽度的乘积。

矩形面积=长×宽

•矩形上有许多对称属性，例如；

–矩形是循环的，其中所有顶点都可以放置在圆的周长上。

–它是等角的，所有的角都相等。

–它是等角的，所有角都位于同一对称轨道内。

–它具有反射对称性和旋转对称性。

平行四边形和矩形有什么区别？

•平行四边形和矩形是四边形。矩形是平行四边形的特例。

•可使用公式base×height计算任意面积。

•考虑对角线；

–平行四边形的对角线彼此平分，然后将平行四边形平分，形成两个全等三角形。

–矩形的对角线长度相等，并且彼此平分；等分部分的长度相等。对角线将矩形平分为两个相等的直角三角形。

•考虑内角；

–平行四边形的相对内角大小相等。两个相邻的内角是补充的

–矩形的四个内角都是直角。

•从侧面考虑；

–在平行四边形中，边的平方和等于对角线的平方和（平行四边形定律）