統合と集計

高校以上の数学では、積分や和算は数学の演算でよく出てくる。両者は異なるツール、異なる文脈で使われているように見えますが、非常に密接な関係にあるのです。

和算の詳細

和算とは、一連の数字を足す操作のことで、通常、ギリシャ文字の∑∑を大文字で表記する。和を省略するために使用され、配列の和・総和に相当する。無限列の和である級数の表現によく使われる。また、ベクトル、行列、多項式の和を表現することもできる。

和算は通常、共通項を持つ級数など、一般項で表現できる値の級数に対して行われる。総和の開始点および終了点をそれぞれ総和の下限および上限と呼ぶ。

例えば、数列a1, a2, a3, a4, ..., anの和はa1+a2+a3+...+anで、和算表記では∑ni=1aiと表され、iは和算インデックスと呼ばれる。

アプリケーションベースの総和は、いくつかの変数を使用します。場合によっては、上限と下限は、∑1≦i≦100ai、∑i∈[1100]aiのように間隔や区間で与えることができ、∑i∈paiのように、Pを定義した集合として与えることもできる。

場合によっては、2つ以上のシグマ表記を用いることもあるが、要約すると、∑j∑kajk=Σj,k ajkとなる。

また、和算は多くの代数的な規則に従っている。埋め込み操作は加法的であるため、代数学の多くの一般的なルールが、和算自体にも、和算によって記述される個々の項にも適用されうる。

統合の詳細については

統合とは、分化の逆の過程と定義されます。しかし、その幾何学的な見方では、関数の曲線と軸で囲まれた領域と見ることもできる。したがって、面積を計算すると、図のような定積分の値が得られる。

画像出典：http://en.*****.org/wiki/File:Riemann_sum company_aggregation.png

定積分の値は、実際には曲線内の小さな帯や軸の和になる。各ストリップの面積は、対象となる軸上の点の高さ×幅となる。幅はxのような選択できる値で、高さはf（坐）のような対象点での関数の値である。図からわかるように、帯が小さいほど境界領域に収まるので、より良い値の近似が可能になる。

したがって、一般に、点aと点bの間（すなわち区間[a,b]、ここでa< b）の定積分Iは、I䗾f(x1)△x+f(x2)△x+⋯+f(xn)△x, ここにnはストリップの数（n=（b-a）/△x）であり、このとき、定積分Iは、次のように表すことができる。この面積の和は、i Silicini = 1 f (XI) x であるから、和の表記で表すことができる。x が小さいほど近似度が高いので、x × 0 のとき、その値を計算すればよい。したがって、I=LIM×x=0 Simini=1 f(Xi)xとするのが合理的である。

上記の概念の一般化として、考えた区間i に応じて∆x を選ぶ（場所に応じて領域の幅を選ぶ）ことができる。

I= LIM x x 0 of Simini = 1 f(Xi) XI X= A B f(x) DX

これは、区間[a, b]における関数f (x)のライマン積分です。このとき、a と b は積分の上限と下限と呼ばれる。ライマン積分は、すべての積分法の基本形である。

本来、積分は、長方形の幅が無限小のときの面積の和である。

積分と和算の違いは何ですか？

-Summationは、一連の数値の総和である。通常、数列の項がパターンを持ち、一般項で表現できる場合、総和は∑ni=1aiの形をとる。

-この面積は、境界線に含まれる小さい面積の合計として表すことができる。

-和算は上下限のある離散的な値であるのに対し、積算は連続的な値である。

-積分は和算の特殊な形式と解釈できる。