算術級数・幾何級数

数学的な定義は配列と密接な関係がある。数列は、有限または無限の数の順序付き集合である。2つの要素の差が定数となるような数列を算術級数と呼びます。連続する2つの数の商が定数である数列は、幾何級数と呼ばれます。これらの等級は有限または無限であり、有限である場合、項は可算であり、そうでない場合は不可算である。

一般に、ある系列の要素の和を系列と定義することができる。算術級数の和を算術級数と呼びます。同様に、幾何級数の和は幾何級数と呼ばれる。

算術級数に関する詳細情報

連続項は算術的に一定の差を持つ。

Sn=a1+a2+a3+a4+⋯+an=∑ni=1ai; ここでa2=a1+d, a3=a2+d,....

この差dを公差と呼び、第n項はan=a1+(n-1)dで与えられる。ここで、a1は第1項である。

グラデーションの挙動は、許容誤差dの変動に基づく。許容誤差が正であればグラデーションは正の無限大に、負であれば負の無限大になる傾向がある。

級数の和は、インドの天文学者・数学者であるアーリアバタが最初に考案した次の簡単な式から導き出すことができる。

Sn=n/2(a1+an)=n/2[2a1+(n-1)d]

和Snは項の数によって有限にも無限にもなる。

幾何級数についての詳細はこちら

幾何級数とは、連続数の商が定数となる級数で、その性質から、級数の研究において重要な級数である。

Sn=ar+ar2+ar3+⋯+arn=∑ni=1 ari

比率rによって、系列の挙動は以下のように分類される。 r = {r｜≧1 series divergence; r ≦ 1 series convergence}とする。さらに、r < 0の場合、系列は振動する、つまり系列は交互に値を持つ。

幾何級数の和は次の式で計算できる。 sn = a(1 - rn)/(1 - r); a は初項、r は比である。比r≦1のとき、級数は収束する。無限級数の場合、収束の値はSn=a/(1-r)で与えられる。

幾何級数は、物理科学、工学、経済学など幅広い分野で応用されている

算術級数と幾何級数の違いは何ですか？

-算術級数とは、隣接する2項間の差が一定である級数のことです。

-幾何級数とは、連続する2つの項間の商が定数となる級数のことである。

-すべての無限級数は必ず発散するが、比率によって幾何級数は収束したり発散したりする。