ローレンツ変換とガリレオ変換

物体の運動を記述する場合、物体の位置や方向などの特性を決めるために一連の軸を使用するが、このような座標系を基準系と呼ぶ。

観測者が異なれば参照枠も異なるので、ある参照枠で観測したものを別の参照枠に適合するように変換する方法があるはずです。ガリレオ変換とローレンツ変換は、いずれもこのような観測データの変換方法である。しかし、これらの方法はいずれも相対運動の速度が一定である参照系にしか使えません。

ガリレオ変換とは？

ガリレオ変換は、観測者に依存しない「時間」という普遍的な存在があるとするニュートン物理学で用いられる。

2つの参照フレームS (x, y, z, t)とS' (x', y', z', t')があり、Sは静止、S'はフレームSのx軸に沿って等速vで動いているとする。ここで、ある事象が時空間座標(x, y, z, t)の点Pで発生したと仮定すると、ガリレオ変換により、フレームS'で観測される事象の位置が得られる。S'に関する時空座標を (x', y', z', t') とすると、x' = x-vt, y' = y, z' = z, t' = t であり、これがガリレオ変換となる。

これをt'に関して微分すると、ガリレオ速度変換の式が得られる。Sの観測者が観測した物体の速度をu = (ux, uy, uz)とすると、S'で観測した同じ物体の速度はu' = (ux', uy', uz') で与えられ、ux' = ux-v, uy' = uy, z' = uzである。興味深いことに、加速度はGalilean変換で一定となり、つまりの場合、物体の加速度はどの観測者でも同じになります。

ローレンツ変換とは何ですか？

ローレンツ変換は、特殊相対性理論や相対論的力学で用いられる。物体が光速に近い速度で動いている場合、ガリレオ変換では正確な結果を予測することができない。そのため、このような速度で物体が移動する場合には、ローレンツ変換が使われる。

ここで、前節の2つのフレームを考えてみましょう。2つの観測者のローレンツ変換方程式は、x'=γ(x-vt), y'=y, z'=z, t'=γ(t-vx/c2) であり、cは光速、γ=1/√（1-v2/c2）である。この変換によると、時間は観測者の速度に依存するため、時間という普遍的な量は存在しないことに注意してください。したがって、異なる速度で移動する観測者は、異なる距離、異なる時間間隔を測定し、異なるイベントのシーケンスを観察することになります。