私たちの日常生活の中で、数字の使い方は場面によってさまざまな形をとることがあります。例えば、物の集まりの大きさを数えるとき、1、2、3、と数えます。物の位置を知るために数える場合、1、2、3、と数えます。第一形式の数え方では、数字を基数と呼ぶ。2番目の数え方では、数は序数であると考えられている。この場合、基数と序数の概念は完全に言語的なものであり、基数と序数は形容詞である...。
基数と序数
私たちの日常生活の中で、数字の使い方は場面によってさまざまな形をとることがあります。例えば、物の集まりの大きさを数えるとき、1、2、3、と数えます。物の位置を知るために数える場合、1、2、3、と数えます。第一形式の数え方では、数字を基数と呼ぶ。2番目の数え方では、数は序数であると考えられている。この場合、基数と序数の概念は完全に言語的なものであり、基数と序数は形容詞である。
しかし、この概念を数学の集合に拡張すると、単純な言葉では扱えない、より深く広い視野が見えてくる。今回は、数学の基本概念である「基数」と「序数」の理解を試みます。
基数や序数の正式な定義は集合論で行われる。これらの定義は複雑で、完璧に理解するためには集合論の背景知識が必要である。そこで、これらの概念を理解するために、いくつかの事例を紹介します。
2つの集合{1,3,6,4,5,2}と{バス、車、フェリー、電車、飛行機、ヘリコプター}を考えてみましょう。この結論を得るために、一方の集合の大きさを使い、他方の集合と数値で比較した。このような数字をベースナンバーと呼ぶ。したがって、基底数とは有限集合の大きさを比較するのに使える数であると言える。
ここでも各要素の大きさを考慮し、比較を行うと、最初の数字の集合は昇順にソートすることができる。仕分け作業では、数字をラジカルと見なします。同様に、すべての非負整数の集合は、1つの集合、すなわち {0,1,2,3,4, ...} でソートすることができる。しかし、この場合、集合の大きさは無限大となり、序数で表すことは不可能である。集合の大きさを表すためにどんなに大きな数字を選んでも、選んだ集合の中から負でない整数の数字が残ってしまうのです。
そこで数学者は、この無限の底（最初の）を、ヘブライ語のアルファベットの最初の文字であるאと書いて、Aleph-0と定義している。形式的には、序数は順序集合の順序型である。したがって、有限集合の序数は基数で与えられるが、無限集合の場合はアレフ-0のような超越数で序数が与えられる。
基数と序数の違いは何ですか？
-すべての基数は序数である。
