算術・幾何学シーケンス

数値のパターンとその振る舞いを研究することは、数学の分野では重要な学問である。多くの場合、これらのパターンは自然界で見ることができ、科学的な見地からその行動を説明するのに役立ちます。算術級数と幾何級数は、自然現象にしばしば現れる数の基本的なパターンである。

数列は、順序付けられた数の集合であり、数列の要素数は有限または無限である。

等差数列（算術級数）の詳細はこちら

算術級数とは、連続する各項の間に一定の差を持つ数列と定義され、算術級数とも呼ばれる。

算術列 ⇒ a1, a2, a3, a4, ..., an; ここで、a2 = a1 + d、a3 = a2 + d、...とする。

初項をa1、公差をdとすると、数列の第n項は以下の式で与えられる。

an=a1+(n-1)d

上記の結果をさらに考慮すると、第n項は次のように与えることも可能である。

an = am + (n - m)d, ここでamはn> mとなるような数列のランダムな項である。

偶数と奇数の集合は、各列の共通差（d）が2である算術系列の最も単純な例である。

数列の項数は無限または有限である。無限大の場合（n → ∞）には、共通差分（an → ±∞）に依存して、列が無限大になる傾向がある。許容誤差が正（d> 0）の場合、シーケンスは正の無限大になる傾向があり、許容誤差が負（d< 0）の場合、シーケンスは負の無限大になる傾向があります。項が有限であれば、列も有限である。

(a3+2の算術項n＝a3+2）（a3+2の算術数＝1+2）。

幾何級数(ジオメトリックシリーズ)の詳細情報

幾何級数とは、連続する任意の2つの項の商が定数となる数列と定義され、これも幾何級数と呼ばれる。

幾何学列 ⇒ a1, a2, a3, a4, ..., an; ここで、a2/a1 = r、a3/a2 = r、・・・となり、rは実数である。

幾何学列は公比（r）と初項（a）で表すとわかりやすい。したがって、幾何学列⇒a1, a1r, a1r2, a1r3, ..., a1rn-1となる。

an=a1rn-1で与えられる第n項の一般形（初項の添え字をなくす⇒an=arn-1）

幾何学的配列は、有限または無限であることもできます。項の数が有限であれば、その数列は有限である。項が無限の場合、数列は比rによって無限にも有限にもなる。公比は幾何級数の多くの性質に影響する。

N、B：上記の全ての場合において、a1>0;であれば、anに関連する記号は反転される。

理想モデルでは、ボールがバウンドする時間間隔は、収束シーケンスである幾何学的なシーケンスに従います。

幾何級数の項の和を幾何級数と呼び，sn=ar+ar2+ar3+⋯+arn=∑i=1→nari.幾何級数の和は，次の式で計算することができる．

Sn = a(1 - rn)/(1 - r); ここで、aは初期項、rは比率を表す。

比 r ≦ 1 であれば収束する。無限級数の場合、収束の値は Sn = a/(1 - r) で与えられる。

等差数列と等比数列・勾配はどう違うのですか？

-算術数列では、任意の2つの連続する項は共通の差（d）を持つが、幾何学数列では、任意の2つの連続する項は一定の商（r）を持つ。

-算術級数では、項の変化は線形であり、すなわちすべての点を通る直線を引くことができる。幾何級数では、変化は指数関数的であり、公倍数に従って成長または減衰する。

-無限等差数列はすべて発散であるが、無限等比数列は発散と収束の両方が可能である。