算术序列与几何序列
数字模式及其行为的研究是数学领域的一项重要研究。通常这些模式可以在自然界中看到,并帮助我们从科学的角度解释它们的行为。算术序列和几何序列是数字中的两种基本模式,经常出现在自然现象中。
序列是一组有序的数字。序列中元素的数量可以是有限的,也可以是无限的。
更多关于算术序列(算术级数)
算术序列被定义为每个连续项之间具有恒定差的数字序列。它也被称为算术级数。
算术序列⇒a1,a2,a3,a4,…,an;其中a2=a1+d,a3=a2+d,依此类推。
如果初始项是a1,公共差是d,则序列的第n项由下式给出;
an=a1+(n-1)d
通过进一步考虑上述结果,第n项也可以给出为:;
an=am+(n-m)d,其中am是序列中的一个随机项,使得n>;m。
偶数集和奇数集是算术序列的最简单例子,其中每个序列的公共差(d)为2。
序列中的项数可以是无限的,也可以是有限的。在无穷大情形下(n→∞),序列趋向于无穷大,取决于公共差(an→±∞)。如果公差为正(d>;0),则序列趋于正无穷大;如果公差为负(d<;0),则序列趋于负无穷大。如果项是有限的,序列也是有限的。
(a3+2的算术项n=a3+2)(a3+2的算术数=1+2)。
有关几何序列(几何级数)的详细信息
几何序列定义为任意两个连续项的商为常数的序列。这也被称为几何级数。
几何序列⇒a1,a2,a3,a4,…,an;其中a2/a1=r,a3/a2=r,依此类推,其中r是实数。
用公比(r)和初始项(a)更容易表示几何序列。因此,几何序列⇒a1、a1r、a1r2、a1r3、…、a1rn-1。
由an=a1rn-1给出的第n项的一般形式。(丢失初始项的下标⇒an=arn-1)
几何序列也可以是有限的或无限的。如果项的数目是有限的,那么这个序列就是有限的。如果项是无限的,序列可以是无限的,也可以是有限的,这取决于比值r。公比影响几何序列的许多性质。
r>;o | 0<r<+1 | 序列收敛-指数衰减,即an→0,n→∞ |
r=1 | 常数序列,即an=常数 | |
r>1 | 序列发散-指数增长,即an→∞,n→∞ | |
r<;0 | -1<r<0 | 序列是振荡的,但是收敛了 |
r=1 | 序列是交替的和恒定的,即an=±常数 | |
r<-1 | 序列是交替的和发散的。i、 e.an→±∞,n→∞ | |
r=0 | 序列是一串零 |
N、 B:在以上所有情况下,a1>;0;如果a1<;0,则与an相关的符号将反转。
在理想模型中,球反弹的时间间隔遵循一个几何序列,是一个收敛序列。
几何序列的项之和称为几何级数;Sn=ar+ar2+ar3+⋯+arn=∑i=1→nari。几何级数之和可以用以下公式计算。
Sn=a(1-rn)/(1-r);其中a是初始项,r是比率。
如果比值r≤1,级数收敛。对于无穷级数,收敛值由Sn=a/(1-r)给出
算术和几何序列/级数有什么区别?
•在算术序列中,任何两个连续项具有公共差(d),而在几何序列中,任何两个连续项具有常数商(r)。
•在算术序列中,项的变化是线性的,即可以画一条穿过所有点的直线。在几何级数中,变化是指数型的;根据公倍数增长或衰减。
•所有无限算术序列都是发散的,而无限几何级数既可以发散,也可以收敛。