如何在gbm中使用montecarlo模擬
估計風險最常用的方法之一是使用蒙特卡羅模擬（MCS）。例如，為了計算一個投資組合的風險價值（VaR），我們可以執行一個蒙特卡羅模擬，在給定的置信區間內，在指定的時間範圍內（我們總是需要為VaR指定兩個條件：置信區間和時間範圍）嘗試預測一個投資組合的最壞可能損失。
在本文中，我們將使用金融學中最常見的模型之一：幾何布朗運動（GBM）來回顧應用於股票價格的基本MCS。因此，雖然蒙特卡羅模擬可以參考各種不同的模擬方法，但我們將從最基本的方法開始。
從哪裡開始
蒙特卡羅模擬是一種多次預測未來的嘗試。在模擬結束時，成千上萬的“隨機試驗”產生了可以分析的結果分佈。基本步驟如下：
1.指定型號（如gbm）
在本文中，我們將使用幾何布朗運動（GBM），它在技術上是一個馬爾可夫過程。這意味著股票價格遵循隨機遊走，並且（至少）符合有效市場假說（EMH）的弱形式——過去的價格資訊已經被納入，下一個價格變動與過去的價格變動“有條件地獨立”。
GBM的公式如下：
Δ不鏽鋼=μΔt+σϵΔtwhere:S=the 股票價格ΔS=股價變化μ=預期收益σ=收益標準差ϵ=隨機變數\begin{aligned}&\frac{\Delta S}{S}\=\\mu\Delta t\+\\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}\\&\textbf{其中：}\\&；S=\text{股價}\\&\Delta S=\text{股價變化}\\&\mu=\text{the expected return}\\&\sigma=\text{收益的標準差}\\&\epsilon=\text{隨機變數}\\&\Delta t=\text{經過的時間段}\end{對齊}SΔS = μΔt+σϵΔt型where:S=the 股票價格ΔS=股價變化μ=預期收益σ=收益標準差ϵ=隨機變數
如果我們重新安排公式來解決股票價格的變化，我們會看到GBM說股票價格的變化是股票價格“S”乘以括號內的兩個項：
ΔS=S× (μΔt+σϵΔt） \Delta S\=\S\\times\（\mu\Delta t\+\\sigma\epsilon\sqrt{\Delta t}）ΔS=S× (μΔt+σϵΔt型)
第一項是“漂移”，第二項是“衝擊”。對於每個時間段，我們的模型都假設價格會隨著預期收益“漂移”上升。但是漂移會被隨機衝擊所震動（加或減）。隨機衝擊將是標準差“s”乘以隨機數“e”。這隻是一種標度標準差的方法。
這就是GBM的本質，如圖1所示。股票價格遵循一系列步驟，其中每個步驟都是一個漂移加上或減去一個隨機衝擊（本身是股票標準差的函式）：
圖1
2.生成隨機試驗
有了模型規範，我們就可以進行隨機試驗。為了說明這一點，我們使用microsoftexcel進行了40次試驗。請記住，這是一個不現實的小樣本；大多數模擬或“模擬人生”至少執行幾千次試驗。
在這種情況下，讓我們假設股票從第0天開始，價格為10美元。下麵是一個結果圖表，其中每個時間步（或間隔）為一天，系列執行10天（總結：40次試驗，每天步驟超過10天）：
圖2：幾何布朗運動
結果是在10天結束時模擬40個股票價格。沒有一個跌破9美元，一個跌破11美元。
3.處理輸出
模擬產生了假設未來結果的分佈。我們可以用輸出做幾件事。
例如，如果我們想用95%的置信度來估計VaR，那麼我們只需要找到排名第38的結果（第三差的結果）。這是因為2/40等於5%，所以兩個最差的結果是最低的5%。
如果我們將顯示的結果堆疊到多個箱子中（每個箱子是$1的三分之一，因此三個箱子涵蓋了$9到$10的區間），我們將得到以下直方圖：
記住，我們的GBM模型假設正態性；價格回報是正態分佈的預期回報（平均值）“m”和標準差“s”。有趣的是，我們的直方圖看起來並不正常。事實上，隨著更多的試驗，它將不會趨於正常。相反，它將傾向於對數正態分佈：一個急劇下降到左邊的平均數和一個高度傾斜的“長尾”到右邊的平均數。
對於初學的學生來說，這往往會導致潛在的混亂：
- 價格回報是正態分佈的。
- 價格水平是對數正態分佈。
可以這樣想：一隻股票的回報率可以上升或下降5%或10%，但經過一段時間後，股價不能為負。此外，上漲的價格會產生複合效應，而下跌的價格會減少基數：損失10%，下次損失的就更少了。
這是一張對數正態分佈圖，疊加在我們的假設上（例如，起價10美元）：
底線
蒙特卡羅模擬將選定的模型（指定儀器的行為）應用於大量隨機試驗，試圖產生一組可能的未來結果。在模擬股票價格方面，最常用的模型是幾何布朗運動（GBM）。GBM假設恆定漂移伴隨隨機衝擊。雖然GBM下的週期收益是正態分佈的，但隨後的多週期（例如10天）價格水平是對數正態分佈的。
- 發表於 2021-06-12 06:33
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- 分類：金融
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