标准偏差和范围都是数据集扩展的度量。每个数字都以自己的方式告诉我们数据的间隔,因为它们都是变化的度量。虽然范围和标准偏差之间没有明确的关系,但有一条经验法则可以将这两个统计数据联系起来。这种关系有时被称为标准偏差的范围规则。
范围规则告诉我们,样本的标准偏差大约等于数据范围的四分之一。换句话说,s=(最大-最小)/4。这是一个非常简单的公式,只能作为标准偏差的粗略估计。
要查看范围规则如何工作的示例,我们将查看以下示例。假设我们从数据值12、12、14、15、16、18、18、20、20、25开始。这些值的平均值为17,标准偏差约为4.1。相反,如果我们首先计算数据范围为25–12=13,然后将该数字除以4,则我们的标准偏差估计值为13/4=3.25。这个数字相对接近真实的标准偏差,适合粗略估计。
这个范围规则似乎有点奇怪。它为什么有效?把这个范围除以四不是完全任意的吗?我们为什么不用另一个数字除呢?事实上,在幕后进行着一些数学上的论证。
回想一下钟形曲线的性质和标准正态分布的概率。一个特征与在一定数量标准偏差范围内的数据量有关:
我们将使用的数字与95%有关。我们可以说,从低于平均值的两个标准偏差到高于平均值的两个标准偏差的95%,我们有95%的数据。因此,几乎所有的正态分布都会延伸到一个线段上,该线段总共有四个标准差长。
并非所有数据都是正态分布和钟形曲线。但大多数数据表现良好,偏离平均值两个标准差就可以捕获几乎所有的数据。我们估计并说四个标准偏差近似于范围的大小,因此范围除以四是标准偏差的粗略近似值。
范围规则在许多设置中都很有用。首先,它是对标准偏差的快速估计。标准偏差要求我们首先找到平均值,然后从每个数据点减去该平均值,将差值平方,相加,除以数据点数量的1,然后(最后)取平方根。另一方面,范围规则只需要一次减法和一次除法。
范围规则有用的其他地方是当我们有不完整的信息时。像确定样本大小这样的公式需要三条信息:我们正在调查的总体的期望误差、置信水平和标准偏差。很多时候,不可能知道总体标准偏差是多少。通过范围规则,我们可以估计这个统计数据,然后知道我们应该制作多大的样本。
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