線形および非線形微分方程式

未知変数の微分係数または微分を少なくとも1つ含む方程式は、微分方程式と呼ばれる。微分方程式には線形と非線形がある。この論文の範囲は、線形微分方程式とは何か、非線形微分方程式とは何か、線形微分方程式と非線形微分方程式の違いは何か、を説明することである。

微分方程式は、18世紀にニュートンやライプニッツなどの数学者によって微積分が開発されて以来、数学の歴史において重要な役割を担ってきた。微分方程式は、その応用範囲の広さから、数学において非常に重要な位置を占めている。微分方程式は、物理学、工学、化学、統計学、金融分析、生物学など、世の中のあらゆるシナリオや事象を説明するために開発されるモデルの中核をなしています（数え上げたらきりがありません）。実際、微積分が確立した理論になるまで、自然界の興味深い問題を分析するのに適した数学的手段はなかった。

微積分を具体的に応用して得られる方程式は、非常に複雑で、時には解けないこともある。しかし、解決できる問題でも、一見似ているように見えるものもあります。そのため、同定を容易にするために、微分方程式はその数学的挙動によって分類される。リニアとノンリニアもその分類の一つです。線形微分方程式と非線形微分方程式の違いを認識することが重要である。

線形の微分方程式（a linear differential equation）は何ですか？

f:X→Y、f(X)=Yとすると、未知関数Yとその導関数に非線形項がない微分方程式を線形微分方程式と呼ぶ。

yはy2、y3、...といった高次の指数項や、次のような微分の倍数を持つことができないという条件を課している。

また、siny、ey^-2、ln yのような非線形項を含むことはできない。

ここで、y と g は x の関数である。この方程式は次数 n の微分方程式であり、最高次の微分の指数である。

線形微分方程式において、微分演算子とは、解がベクトル空間を形成する線形演算子のことである。解集合の線形性により、解の線形結合は微分方程式の解でもある。すなわち、y1、y2が微分方程式の解であれば、c1y1＋c2y2も解となる。

方程式の線形性は分類のための1つのパラメータに過ぎず、さらにカイ二乗、非カイ二乗、常微分方程式または偏微分方程式に分類することができる。関数がg=0の場合、方程式は線形カイ二乗微分方程式となる。fを2つ以上の独立変数の関数（f:X, T → Y）とし、f(X, T) = Yとすれば、その方程式は線形偏微分方程式となる。

微分方程式の解法は、微分方程式の種類や係数の種類によって異なる。最も単純なケースは、係数が一定である場合である。その代表的なものがニュートンの運動第二法則とそのさまざまな応用例である。ニュートンの第二法則は、二次の定数係数を持つ線形微分方程式を生成する。

非線形微分方程式 (a nonlinear differential equation)は何ですか？

非線形項を含む方程式は非線形微分方程式と呼ばれる。

以上、すべて非線形微分方程式である。非線形微分方程式は難解な問題であるため、正しい解を得るためには深く掘り下げる必要がある。偏微分方程式の場合、ほとんどの方程式は一般解を持たない。したがって、各方程式を独立に扱う必要がある。

流体力学のNavier-Stokes方程式やEuler方程式、一般相対性理論のEinstein場方程式は、よく知られた非線形偏微分方程式である。ラグランジュ方程式を変数系に適用すると、非線形偏微分方程式系が発生することがある。

せんけいと非線形微分方程式***(Non-linear)の違い

-未知変数または従属変数とその導関数の線形項のみを持つ微分方程式を線形微分方程式と呼ぶ。従属変数の指数が1より大きい項はなく、その微分の倍数も含まない。従属変数に三角関数、指数関数、対数関数などの非線形関数を持たせることはできない。上記の項を含む微分方程式はすべて非線形微分方程式である。

-線形微分方程式の解はベクトル空間を作り、微分演算子はベクトル空間における線形演算子でもある。