线性与非线性微分方程

含有至少一个微分系数或未知变量导数的方程称为微分方程。微分方程可以是线性的也可以是非线性的。本文的范围是解释什么是线性微分方程，什么是非线性微分方程，线性微分方程和非线性微分方程有什么区别。

自18世纪牛顿和莱布尼茨等数学家发展微积分以来，微分方程在数学史上一直扮演着重要的角色。微分方程由于其应用范围广，在数学中具有重要意义。微分方程是我们开发用来解释世界上任何情景或事件的模型的核心，无论是物理、工程、化学、统计学、金融分析还是生物学（列表不胜枚举）。事实上，在微积分成为一个既定的理论之前，还没有合适的数学工具来分析自然界中有趣的问题。

由微积分的一个具体应用得到的方程可能非常复杂，有时不可解。然而，有些问题我们可以解决，但可能看起来很相似，令人困惑。因此，为了便于辨识，微分方程按其数学行为进行分类。线性和非线性就是这样一种分类。辨识线性微分方程与非线性微分方程之间的差异是很重要的。

什么是线性微分方程(a linear differential equation)？

假设f:X→Y和f（X）=Y，一个没有未知函数Y及其导数的非线性项的微分方程称为线性微分方程。

它规定了一个条件，即y不能有更高的指数项，如y2，y3，…和导数的倍数，如

它也不能包含非线性项，如siny、ey^-2或ln y。它的形式是，

其中y和g是x的函数，该方程是n阶微分方程，是最高阶导数的指数。

在线性微分方程中，微分算子是一个线性算子，其解构成向量空间。由于解集的线性性质，解的线性组合也是微分方程的解。也就是说，如果y1和y2是微分方程的解，那么c1y1+c2y2也是一个解。

方程的线性度只是分类的一个参数，可以进一步分为齐次方程、非齐次方程和常微分方程或偏微分方程。如果函数为g=0，则方程为线性齐次微分方程。如果f是两个或两个以上自变量（f:X，T→Y）和f（X，T）=Y的函数，则该方程是一个线性偏微分方程。

微分方程的求解方法取决于微分方程的类型和系数。当系数为常数时，最简单的情况出现。典型的例子是牛顿第二运动定律及其各种应用。牛顿第二定律产生一个二阶常系数线性微分方程。

什么是非线性微分方程(a nonlinear differential equation)？

含有非线性项的方程称为非线性微分方程。

以上都是非线性微分方程。非线性微分方程是一个很难求解的问题，因此需要对其进行深入的研究以获得正确的解。在偏微分方程的情况下，大多数方程没有通解。因此，每个方程都必须独立处理。

流体力学中的Navier-Stokes方程和Euler方程，广义相对论中的爱因斯坦场方程是著名的非线性偏微分方程。有时，将拉格朗日方程应用于一个变量系统时，可能会产生一个非线性偏微分方程组。

线性的(linear)和非线性微分方程(nonlinear differential equati***)的区别

•只有未知或因变量及其导数的线性项的微分方程称为线性微分方程。它没有因变量指数大于1的项，也不包含其导数的倍数。它不能有非线性函数，如三角函数，指数函数，对数函数对因变量。任何包含上述项的微分方程都是一个非线性微分方程。

•线性微分方程的解创造了向量空间，微分算子也是向量空间中的线性算子。