フーリエ級数とフーリエ変換

フーリエ級数は、周期的な関数を異なる周波数と振幅を持つサインとコサインの和に分解するもので、Joseph Fourierによって導入されたフーリエ解析の一分野です。フーリエ変換は、信号を構成する周波数に分解する数学的な演算である。元の信号が時間とともに変化することを、信号の時間領域表現といいます。フーリエ変換は、周波数に依存するため、信号の周波数領域表現として知られています。信号の周波数領域での表現と、信号を周波数領域に変換する処理の両方を、フーリエ変換と呼びます。

フーリエ級数とは？

フーリエ級数はもともと熱方程式系を解くために開発されたが、同じ手法で多くの数学的問題、特に定数係数を持つ線形微分方程式系を解くことができることが分かってきている。フーリエ級数は現在、電気工学、振動解析、音響学、光学、信号処理、画像処理、量子力学、計量経済学などで広く使われている。フーリエ級数は、サインとコサイン関数の直交性を利用したものです。フーリエ級数の計算と研究は調和解析と呼ばれ、任意の周期関数を扱うときに、関数を簡単な項に分解して、元の問題の解を求めることができるため、有用である。

フーリエ変換とは？

フーリエ変換は、時間領域と周波数領域における信号の表現の関係を定義するものである。フーリエ変換は、関数を振動する関数に分解する。これは変換であるため、変換を知ることで元の信号を得ることができ、その過程で情報が発生したり失われたりすることはない。フーリエ級数の研究は、実はフーリエ変換のきっかけを与えてくれる。サインとコサインの性質から、積分によって各波の和への寄与を回復することが可能である。フーリエ変換は、線形性、並進性、変調性、スケーリング性、共役性、双対性、畳み込みといった基本的な性質を備えています。フーリエ変換はラプラス変換と密接な関係にあるため、微分方程式の解法に応用されている。フーリエ変換は、核磁気共鳴（NMR）等の分光法にも利用できる。