対数・指数|指数・対数関数

関数は数学の最も重要な分野であり、数学のほとんどすべての分野で広く使われている。指数関数と対数関数は、この2つの特殊な関数である。

関数とは、2つの集合の間で、第1の集合の各要素に対して、第2の集合のそれに対応する値が一意になるように定義される関係である。各x ϵ a に対して、記号 ƒ(x) は x に対応する集合 B の一意な値を示す。これは、ƒの下でのxの像と呼ばれる。したがって、aからBへの関係ƒは、各xϵaとyϵaに対して、x = yならƒ(x)=ƒ(y)のときだけ関数となる。集合Aは関数ƒの領域と呼ばれ、定義された関数の集合である。

指数関数とは何ですか？

指数関数とは ƒ(x) = ex で与えられる関数で、e = lim(1 + 1/n)n (≒ 2.718...) は超越した無理数である。この関数の特徴は、関数の微分が自分自身に等しいこと、すなわちy＝exでdy/dx＝exのとき、この関数もx軸が漸近してどこでも連続的に増加する関数となることである。したがって、この関数も1対1である。各x ϵに対してex> 0を持ち、それがR+上にあることを証明できる。ここでも基本定数ex+y=ex.ey社e0=1に従う。また、x+1/1を展開することで関数を表現することも可能だ!+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+ ...

対数関数とは何ですか？

対数関数は、指数関数の逆関数です。指数関数は一対一でR+上にあるので、関数gは正の実数の集合から、y=exのときだけg(y)=xで与えられる実数の集合として定義できる。この関数gは対数関数または最も一般的には自然対数と呼ばれる。g(x) = log ex = ln x で示される。指数関数の逆数なので、指数関数のグラフをy=x線に反射させると、対数関数のグラフになります。したがって、この関数はy軸に対して漸近的である。

対数関数はいくつかの基本的な法則に従っており、その中でもln xy = ln x + ln y、ln x/y = ln x - ln y、ln xy = y ln xは最も重要である。これも成長関数で、どこまでも連続的である。したがって、これも1対1である。Rにあることがわかる。