一次方程式と二次方程式

数学では、代数方程式は多項式で形成される方程式である。ここで、xはn個の未知変数のベクトル、Pは多項式である。例えば、P(x, y) = x4 + y3 + x2y + 5 = 0 は、2変数の明示的な代数方程式である。あるいは、(x+y)3=3x2y-3zy4は代数方程式であるが、陰解法である。Q(x, y, z) = x3+y3 + 3xy2 + 3zy4 = 0 の形で、一度明示的に書き出すと、その形になる。

代数方程式の重要な特性は次数である。方程式に現れる項の最高乗数として定義される。ある項が2つ以上の変数からなる場合、各変数の指数の和がその項のべき乗とみなされる。この定義により、P(x, y) = 0は4回、Q(x, y, z) = 0は5回であることを観察してください。

一次方程式と二次方程式は異なる種類の代数方程式であり、他の代数方程式と区別されるのは方程式の順序である。

一次方程式とは？

一次方程式とは、1次の代数方程式のことです。例えば、4x+5=0は1変数の連立一次方程式、x+y+5z=0と4x=3w+5y+7zはそれぞれ3変数、4変数の連立一次方程式である。一般にn変数の連立方程式はM1x1+M2x2+...+MN-1xN-1 +Mnxn=Bとなる。ここで、シートは未知変数、MIとBは実数で、各MIは0でない数である。

このような方程式は、n次元ユークリッド空間における超平面を表している。特に、二元一次方程式は直交平面上の直線を、三元一次方程式はユークリッド3空間上の平面を表現する。

二次方程式とは？

二次方程式とは、二次的な代数方程式で、x2+3x+2=0は1変数の二次方程式、x2+y2+3x=4、4x2+y2+2z2+x+y+z=4はそれぞれ2変数、3変数の二次方程式の例である。

一変量の場合、二次方程式の一般形は ax2 + bx + c = 0 である。ここで a, b, c は実数で、a は 0 以外である。判別式Δ＝（b2 - 4ac）は、二次方程式の根の性質を決定する。が正、0、負のいずれであるかによって、方程式の根は実異、実相、複素になる。式の根は、x = (-b ± √∆)/2a の式で簡単に求めることができる。

二変数の場合、一般的な形式は ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f = 0 で、これは直交平面上の円錐曲線（放物線、双曲線、楕円）を表しています。高次元では、このような方程式は2次曲面と呼ばれる超曲面を表します。