双曲線と楕円

円錐をさまざまな角度でカットすると、異なるカーブが円錐のエッジで示される。これらの曲線は通常、円錐曲線と呼ばれる。正確には、直角二次曲面を平面と交差させて得られる曲線が二次曲線である。交差する角度が異なると、異なる円錐曲線が与えられます。

双曲線と楕円はどちらも円錐曲線であり、この場合、その違いは容易に比較できる。

楕円の詳細はこちら

円錐面と平面との交点が閉曲線となるものを楕円という。偏芯量は0〜1（0＜e＜1）です。また、平面上の2つの固定点からその点までの距離の和が一定となるような点の集合の軌跡と定義することもできる。この2つの定点は「フォーカルポイント」と呼ばれる。(小学校の算数の授業では、2本の足に紐を結んだり、紐の輪と2本の足を使って楕円を描くことを思い出してください）。

焦点を通過する線分を長軸、長軸に垂直で楕円の中心を通る軸を短軸と呼ぶ。各軸に沿った直径をそれぞれ横線径、共役径と呼ぶ。長軸の半分を半長軸、短軸の半分を半短軸と呼びます。

各点F1、F2を長さF1＋PF2＝2aの楕円の焦点と呼び、Pは楕円上の任意の点である。離心率eは、焦点から任意の点までの距離（PF2）と、任意の点から共線までの垂直距離（PD）の比として定義される。また、2つの焦点と半長軸の距離にも等しい：e = PF/PD = f/a

半長軸と半短軸が直交軸と一致するとき、楕円の一般方程式は次のようになる。

x2/a2+y2/b2=1

楕円の幾何学は、特に物理学の分野で多くの応用がある。太陽系の惑星の軌道は、太陽を中心とした楕円形をしています。アンテナや音響機器の反射板は、ある焦点からの放射が他の焦点に向かうことを利用し、楕円形に作られている。

双曲線の詳細

双曲線も円錐曲線であるが、開いている。双曲線とは、図に示す2本の不連続な曲線のことである。双曲線の腕や枝は楕円のように閉じておらず、無限大まで続いています。

2つの枝の間の距離が最短の点を頂点と呼ぶ。頂点を通る線は双曲線の長軸または横軸とみなされ、双曲線の主軸の1つとなる。放物線の2つの焦点も主軸上にある。2つの頂点を結ぶ直線の中点が中心で、その長さが半長軸となる。半長径の垂直二等分線は、双曲線の2つの曲線が対称になるもう1つの長軸である。放物線の離心率が1より大きい;e>1.

主軸が直交軸と一致する場合、双曲線の一般方程式は次のようになる。

x2/a2 - y2/b2 = 1となります。

ここで、aは半長軸、bは中心からいずれかの焦点までの距離である。

開放端をx軸に向けた双曲線は、東西双曲線と呼ばれる。同様の双曲線はy軸上でも得ることができる。これらは、Y軸双曲線と呼ばれるものです。このような双曲線の方程式は、次のようになります。

y2/a2 - x2/b2 = 1とする。

双曲線と楕円の違いは何ですか？

-楕円と双曲線はともに円錐曲線であるが、楕円は閉じた曲線であるのに対し、双曲線は2つの開いた曲線から構成されている。

-したがって、楕円の周囲は有限であるが、双曲線の長さは無限である。

-どちらも長軸と短軸について対称ですが、コリンの位置はそれぞれ異なります。楕円では半長径の外側にあり、双曲線では半長径の上にある。

-2つの円錐部の偏心率が異なる。

0<エリプス<1

eHyperbola>0

-2つの曲線の一般方程式は同じように見えるが、異なるものである。

-長軸の垂直二等分線は、楕円では曲線と交差するが、双曲線では交差しない。