ガウス分布と正規分布の比較

まず、正規分布とガウス分布は、統計理論で最も遭遇する分布であろう、同じ分布を表すのに使われる。

ガウス分布または正規分布の確率変数 x に対して、確率分布関数は P(x) = [1/(σ√2π)]e^(-(x-µ)2/2σ2); μ は平均、σは標準偏差です。この関数のドメインは(-∞, +∞)である。これをプロットすると、社会科学でよく言われるベルカーブ、物理科学ではガウシアンカーブが得られる。正規分布は楕円分布のサブクラスである。また、標本サイズが無限である二項分布の極限ケースと考えることもできる。

正規分布は非常にユニークな特徴を持っています。正規分布の場合、平均、最頻値、中央値は同一、すなわちμであり、歪度と尖度は0、最初の2つの累積量（平均と分散）は0であり、絶対連続な唯一の分布である。パラメータµとσ2の任意の値に対して、エントロピーが最大となる確率密度関数を与える。正規分布は中心極限定理に基づいており、仮定に基づいた実際の結果で検証することができる。

正規分布は、変換 z = (X - µ)/σ を用いて正規化することができ、µ = 0、σ = σ2 = 1 の分布に変換される。この変換により、標準値の表が参照しやすくなり、確率密度関数や累積分布関数に関する問題が解きやすくなる。

正規分布の応用は、3つに分けられる。厳密な正規分布，近似的な正規分布，モデル化された正規分布，仮定された正規分布。自然界には厳密な正規分布が存在する。高温ガスや理想気体の分子の速度や量子共鳴器の基底状態は、正規分布をしている。近似正規分布は、多くの場合、中心極限定理によって説明することができる。二項確率分布とポアソン分布は、それぞれ離散分布と連続分布で、標本サイズが非常に大きい場合に正規分布と同様の性質を示す。

実際には、ほとんどの統計実験において、分布は正規分布であると仮定しており、その後のモデル理論もこの仮定に基づいている。その結果、母集団全体に対するパラメータを容易に算出することができ、推論が非常に容易になる。

ガウス分布と正規分布の違いは何ですか？