組み合わせとアレンジメント

アレンジメントとコンビネーションは、密接に関連した2つの概念です。同じような起源を持つように見えるが、それぞれの意味を持っている。一般的に言えば、どちらの分野も「モノの配置」に関係している。しかし、それぞれの制約が異なる状況に適用できるよう、微妙な違いがある。

組み合わせ」という言葉だけで、「組み合わせ」、もっと言えば「大きなグループからいくつかのものを選ぶこと」がどういうことなのかがわかりますね。この特殊なケースでは、「パターン」や「配列」に着目した組み合わせの検索は行いません。このことは、次の例でわかりやすく説明できる。

トーナメントでは、1回の対戦でぶつからない限り、2つのチームがどのようにリストアップされているかは重要ではありません。チーム「X」がチーム「Y」と対戦しても、チーム「Y」がチーム「X」と対戦しても、違いはないのです。どちらも似たようなもので、重要なのは、優先順位に関係なく、双方に対戦の機会があることです。したがって、この組み合わせを説明する良い例は、使用可能なn人の選手でk人のチームを形成することである。

(n-k)！「組み合わせ」に基づいて共通の問題の価値を計算する式です。

一方、「整える」というのは、「秩序」のレベルに立つことです。つまり、アレンジメントでは配列やパターンが重要なのです。ですから、「順番」が大事なときは、アレンジメントが活躍する、と簡単に言えます。このことから、「配列」は「組み合わせ」よりも配列が含まれているため、より高い値を持つこともわかります。順列」のイメージを明確にするために使える非常に簡単な例として、1、2、3、4という数字を使った4桁の数字の成り立ちがあります。

毎年恒例のパーティーで写真を撮る準備をしていた5人組の学生たち。1、2、3、4、5の順で座り、最後の2人が入れ替わり立ち替わりで写真を撮った。今の順番だと（1、2、3、5、4）なので、先ほどの順番とは全く違います。

nk（またはn^k）=n！/（n-k）！は、「置換」配向問題の計算に使われる式である。

順列と組み合わせの違いを理解することは、さまざまな状況で、与えられた問題を解決するために使用しなければならない正しいパラメータを特定するために重要です。これまで見てきたように、「並べ替え」によってより高い値が得られることがよくあります。