ベルヌーイと二項式の比較

現実の世界では、2つの結果しかないような出来事に遭遇することが多い。例えば、面接の合否や、飛行機が定刻に出発するか遅れるか。これらの場合、いずれもベルヌーイテストから確率の概念を適用することができる。

ベルヌーイ

確率pとqが1である2つの可能性しかない無作為化実験は、ベルヌーイ（James Bernoulli, 1654-1705）にちなんでベルヌーイテストと呼ばれる。実験の2つの結果は、しばしば「成功」または「失敗」と呼ばれる。

例えば、コイン投げを考えた場合、「表」と「裏」という2つの結果が考えられる。同様に、サイコロを2つ振るとき、2つのサイコロの合計が8であることだけに注目すれば、P（成功）＝5/36、P（失敗）＝1-5/36＝31/36となる。

ベルヌーイ過程は、独立したベルヌーイ試行が連続して発生し、各試行の成功確率が変わらないようにするものである。また、各試行で失敗する確率は1-P（成功）である。

個々の経路は互いに独立しているので、ベルヌーイ過程のある事象の確率は、成功の確率と失敗の確率の積をとることで計算できる。例えば、成功の確率[P(S)]をP、失敗の確率[P(F)]をqとすると、P（SSSF）＝p3q、P（FFSS）＝p2q2である。

二項式

ベルヌーイの検定で二項分布が導かれる。ほとんどの場合、「ベルヌーイ」と「二項」を混同している。二項分布は、独立かつ一様に分布するベルヌーイ試行の和である。二項分布は記号b(k; n, p)で表される。b(k; n, p)=C(n, k)pkqn-k、ここでC(n, k)は二項係数と呼ばれる。二項係数C(n, k)は、式n！/k！(n-k)で使うことができます。

例えば、10人のうち25％の人がインスタントチケットを当てた場合、当たりチケットを買う確率は、b(1; 10,0.25) = C(10,1)(0.25)(0.75)9≒9×0.25×0.075≒0.169 となりま す。