イジングモデルとハイゼンベルグモデルの重要な違いは、イジングモデルでは、系内の各スピンがフリップからフリップへ、あるいはその逆へと変化しても、スピン配置のエネルギーは不変であるのに対し、ハイゼンベルグモデルでは、各スピンが単位球の周りを回転しても、スピン配置のエネルギーは不変であるということである。

イジングモデルは物理学者エルンスト・イジングの名を冠し、ハイゼンベルグモデルは著名な物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルグが提唱したモデルである。

カタログ

1. 概要と主な相違点 2. イジングモデルとは 3. ハイゼンベルグモデルとは 4. 横並び比較 - イジングモデルとハイゼンベルグモデルの表形式 5. まとめ

イジングモデルは何ですか？

イジングモデルとは、統計力学における強磁性の数学的モデルである。物理学者エルンスト・イジングにちなんで命名された。このモデルでは、原子の「スピン」の磁気双極子モーメントを表す離散変数があり、これは+1状態でも-1状態でも発生することができる。このモデルでは、通常、各スピンが隣接するスピンと相互作用できるように、スピンを格子に配置します。このモデルによって、相転移を現実の単純化されたモデルとして認識することができる。イジングモデルは、相転移を記述するための最も単純な統計モデルの一つである。

このモデルの歴史を考えてみると、1920年に物理学者のヴィルヘルム・レンツによって発明されたものである。彼はこのモデルを問題にして学生に与え、エルンスト・イジングは1925年にこれを解決した。しかし、彼の溶液には相転移がなかった。2次元正方形ドットマトリックス型のイジングモデルは非常に難しいモデルで、1944年にLars-Onsagerによって解析的な記述がなされた。このモデルは通常、伝達行列法によって解かれるが、その解法には様々な方法が存在する。次元数が4以上の場合、イジングモデルの相転移は平均場理論で記述することが可能である。

ハイゼンベルグモデルは何ですか？

ハイゼンベルグモデルは統計物理学の数理モデルで、磁性体の臨界点や相転移を研究する上で非常に重要なモデルである。このモデルでは、磁性体のスピンに対して量子力学的なアプローチを用いています。このモデルは、有名な物理学者であるウェルナー・ハイゼンベルグが提唱したものである。このモデルは典型的なイジングモデルに関連している。

図01：ハイゼンベルグ、W、ウィグナー、E

量子力学では、2つの双極子間の主結合は、並んだときに最近接のエネルギーが最も低くなるように導かれる。これを前提として、ハイゼンベルグモデルの数学的定式化を確立することができる。

ハイゼンベルグ模型は、多くの重要な応用がある。密度行列再定式化の応用として、重要かつ扱いやすい理論例を提供します。ハイゼンベルグのスピン鎖を使って、6頂点モデルを解くことができるのです。さらに、半分だけ満たされたHubbard模型は、超交換相互作用の強さを表す結合定数が0より小さいHeisenberg模型に写像することができる。

イジングとハイゼンベルグモデルの違い

イジングモデルとハイゼンベルグモデルは、主に統計物理学の分野で議論されています。イジングモデルとハイゼンベルグモデルの重要な違いは、イジングモデルでは、系内の各スピンがフリップからフリップへ、またはその逆へと変化してもスピン配置のエネルギーは不変であるのに対し、ハイゼンベルグモデルでは、各スピンが単位球の周りを回転してもスピン配置のエネルギーは不変であるということである。

イジングモデルとハイゼンベルグモデルの違いを表形式でまとめると、以下のようになる。

概要 - イジング vs. ハイゼンベルグモデル

イジングモデルは物理学者エルンスト・イジングが、ハイゼンベルグモデルはヴェルナー・ハイゼンベルグが提唱し命名したものである。イジングモデルとハイゼンベルグモデルの大きな違いは、イジングモデルでは、系内の各スピンがフリップからフリップへ、またはその逆を行うときに、スピン配置のエネルギーが系内で不変であるのに対し、ハイゼンベルグモデルでは、各スピンが単位球の周りを回転するときにスピン配置のエネルギーが系内で不変になることである。

引用

1 「イジング模型」イジング模型-概要|Direct Topics in Science, こちらから入手可能。