直交性・直交性

数学では、ベクトルの集合に対して、直交、直交という言葉がよく使われます。ここでいう「ベクトル」とは、ベクトル空間（線形代数で使われる代数的構造）の要素であることを意味する。ここでは、内積空間であるベクトル空間Vと、V上で定義される内積[]について考察する。

例えば、内積の場合、空間はすべての3次元位置ベクトルの集合と通常のドットプロダクトである。

直交性とは？

内積空間 V の空でない部分集合 S は、S においてすべての異なる u, V, [u, V] = 0、すなわち u と V の内積が内積空間におけるゼロスカラーと等しいときにのみ直交すると言われます。

例えば、すべての3次元位置ベクトルの集合において、Sにおける位置ベクトルpとqの異なるペアに対して、pとqは互いに垂直であると言うことと等価である。(このベクトル空間の内積は内積であることを忘れないでください）。また、2つのベクトルの内積は、ベクトルが互いに垂直なときだけ0になる)。

3次元位置ベクトルの部分集合である集合S＝｛（0，2，0），（4，0，0），（0，0，5）｝を考える。(0,2,0)を観測する。(4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 & (0,2,0)(0,0,5) = 0 ですから、集合Sは直交しています。特に、2つのベクトルの内積が0であれば、直交しているといいます。したがって、Sisでは、すべてのベクトルのペアが直交している。

直交法とは何ですか？

内積空間 V の空でない部分集合 S は、S が直交し、S の各ベクトル u に対して [u, u] = 1 のときだけ直交と呼ばれます。したがって、すべての直交集合は直交していますが、直交していないことが解ります。

例えば、すべての3次元位置ベクトルの集合において、これは、Sにおける位置ベクトルpとqの異なる組ごとに、pとqが互いに直交し、Sの各pについて｜p｜＝1と言うことと等価である。これは、条件［p，p］＝1が、p＝｜p｜ cos0 = p｜ 2 = 1に還元され、｜p｜＝1と同じになるからだ。 したがって、直交集合が与えられると、つぎのことが可能になる。は、各ベクトルをその大きさで割って、対応する直交集合を形成する。

T = {(0,1,0), (1,0,0), (0,0,1)} は、すべての3次元位置ベクトルの集合の直交部分集合である。集合Sに含まれる各ベクトルをその大きさで割ることで得られることは容易に理解できる。

• 内積空間 V の空でない部分集合 S は、各明確な u, V に対して、S において [u, V] = 0 であるときのみ直交という。しかし、各ベクトル u に対して、S において [u, u] = 1 という追加の条件を満たすときのみ直交となる。
• 直交する集合はすべて直交しているが、その逆もまた真である。
• 任意の直交集合は一意の直交集合に対応するが、直交集合は複数の直交集合に対応することができる。