正交(orthogonal)和正法线(orthonormal)的区别

正交与正交

在数学中，正交和正交这两个词经常和一组向量一起使用。在这里，“向量”一词的意思是它是向量空间的一个元素——线性代数中使用的一种代数结构。在我们的讨论中，我们将考虑内积空间-向量空间V以及定义在V上的内积[]。

例如，对于内积，空间是所有三维位置向量和通常的点积的集合。

什么是正交的？

内积空间V的非空子集S称为正交的，当且仅当S中每个不同的u，V，[u，V]=0；即u和V的内积等于内积空间中的零标量。

例如，在所有三维位置向量的集合中，这相当于说，对于S中的每一对不同的位置向量p和q，p和q彼此垂直。（记住这个向量空间的内积是点积。另外，当且仅当两个向量相互垂直时，两个向量的点积等于0。）

考虑集合S={（0,2,0），（4,0,0），（0,0,5）}，它是三维位置向量的子集。观察（0,2,0）。（4,0,0）=0，（4,0,0）。（0,0,5）=0&amp；（0,2,0）。（0,0,5）=0。因此，集合S是正交的。特别地，如果两个向量的内积为0，则称两个向量是正交的。因此，每对向量在Sis中是正交的。

什么是正交法？

内积空间V的非空子集S称为正交的当且仅当S正交且对于S中的每个向量u，[u，u]=1。因此，可以看出每个正交集都是正交的，但不是正交的。

例如，在所有三维位置向量的集合中，这相当于说，对于S中的每一对不同的位置向量p和q，p和q彼此垂直，并且对于S中的每个p，| p |=1。这是因为条件[p，p]=1减少为p.p=| p | p | cos0=|p | 2=1，相当于| p |=1。因此，给定一个正交集，我们总是可以通过将每个向量除以其大小来形成相应的正交集。

T={（0,1,0），（1,0,0），（0,0,1）}是所有三维位置向量集的正交子集。很容易看出，它是通过将集合S中的每个向量除以它们的大小得到的。